Question

如圖1，平面直角坐標(biāo)系上有一透明片，透明片上有一拋物線是一點(diǎn)P（2，4），且拋物線為二次函數(shù)y=（x-a）2+

a

2

的圖形，當(dāng)a取不同的值時(shí)，其圖象構(gòu)成一個(gè)“拋物線系”，它們的頂點(diǎn)在一條直線l上，如圖2分別是當(dāng)a=-1，a=0，a=1，a=2時(shí)二次函數(shù)的圖象．
（1）直線l的解析式是y=

 

；
（2）將此透明片上的拋物線頂點(diǎn)沿直線l平移后，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，3），若平移后的點(diǎn)P記為P₁，則此時(shí)P₁的坐標(biāo)為

 

；
（3）將此透明片上的拋物線頂點(diǎn)沿直線l平移線段OP長時(shí)，求此時(shí)的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）先把a(bǔ)=0和a=1代入y=（x-a）2+

a

2

得到兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式為y=

1

2

x；
（2）先通過頂點(diǎn)（0，0）平移到（6，3）得到平移的方向和平移的單位，然后把點(diǎn)（2，4）按同樣的方法進(jìn)行平移即可得到P₁的坐標(biāo)；
（3）先利用兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算出OP=2

5

，再確定直線l上到原點(diǎn)的距離為2

5

的點(diǎn)，然后利用頂點(diǎn)式寫出對應(yīng)的拋物線解析式即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，y=x²，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
當(dāng)a=1時(shí)，y=（x-1）²+

1

2

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

1

2

），
設(shè)直線l的解析式為y=kx，
把點(diǎn)（1，

1

2

）代入得k=

1

2

，
所以直線l的解析式為y=

1

2

x；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P（2，4）在拋物線y=x²上，頂點(diǎn)為（6，3）的拋物線解析式為y=（x-6）²+3，
而拋物線y=x²向上平移3個(gè)單位，向右平移6個(gè)單位得到y(tǒng)=（x-6）²+3，
所以點(diǎn)P（2，4）向上平移3個(gè)單位，向右平移6個(gè)單位得到P₁的坐標(biāo)為（8，7）；
故答案為

1

2

x，（8，7）；
（3）OP=

22+42

=2

5

，
設(shè)平移后點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，

1

2

t），
所以t²+（

1

2

t）²=（2

5

）²，解得t=±4，
則平移后點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）或（-4，-2），
所以此時(shí)的二次函數(shù)的解析式為y=（x-4）²+2或y=（x+4）²-2．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．