Question

若等腰梯形ABCD的上、下底之和為4，并且兩條對(duì)角線所夾銳角為60°，則該等腰梯形的面積為______（結(jié)果保留根號(hào)的形式）．

Answer 1

已知梯形的上下底的和是4，設(shè)AB+CD=4，
對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，經(jīng)過點(diǎn)C作對(duì)角線BD的平行線CE交AB的延長線于點(diǎn)E．
①當(dāng)∠DOC=60度時(shí)，∠ACE=60°，△ACE是等邊三角形，邊長AC=CE=AE=4，
作CF⊥AE，CF=4×sin60°=4×

3

2

=2

3

因而面積是

1

2

×4×2

3

=4

3

②當(dāng)∠BOC=60度時(shí)，∠AOB=180°-60°=120°，
又∵BD∥CE，
∴∠ACE=∠AOB=120°，
∴△ACE是等腰三角形，且底邊AE=4，
因而∠CEA=

180°-120°

2

=30°，作CF⊥AE，則AF=FE=2，CF=2×tan30°=

2 3

3

，
則△ACE的面積=

1

2

×4×

2 3

3

=

4 3

3

，而△ACE的面積等于梯形ABCD的面積．
因而等腰梯形的面積為4

3

或

4 3

3

．
故答案為：4

3

或

4 3

3

．