Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊)，與軸交于點(diǎn)．

（1）如圖1，若△ABC為直角三角形，求的值；

（2）如圖1，在（1）的條件下，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，若以為邊，以點(diǎn)、、、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若﹕=1﹕4． 求的值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 和；(3)

【解析】

（1）設(shè)，，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，根據(jù)勾股定理得到：、 ，根據(jù)列出方程，解方程即可；（2）求出A、B坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，利用平行四邊形的性質(zhì)，分類討論點(diǎn)P坐標(biāo)，利用全等的性質(zhì)得出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)后，分別代入拋物線解析式，求出P點(diǎn)坐標(biāo);

(3)過(guò)點(diǎn)作DH⊥軸于點(diǎn),由::，可得::．設(shè),可得 點(diǎn)坐標(biāo)為，可得．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為.可證△∽△,利用相似性質(zhì)列出方程整理可得到 ①,將代入拋物線上,可得②，聯(lián)立①②解方程組，即可解答.

解：設(shè)，，則是方程的兩根，

∴．

∵已知拋物線與軸交于點(diǎn)．

∴

在△中：，在△中：，

∵△為直角三角形，由題意可知∠°，

∴，

即，

∴,

∴,

解得:,

又,

∴．

由可知：,令則,

∴,

∴．

①以為邊，以點(diǎn)、、、Q為頂點(diǎn)的四邊形是四邊形時(shí),

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為 ，l與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊥l，垂足為點(diǎn)，

即∠°∠．

∵四邊形為平行四邊形,

∴∥,又l∥軸,

∴∠∠=∠,

∴△≌△,

∴,

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,

∴

即點(diǎn)坐標(biāo)為．

②當(dāng)以為邊，以點(diǎn)、、、Q為頂點(diǎn)的四邊形是四邊形時(shí)，

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為 ，l與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊥l，垂足為點(diǎn)，

即∠°∠．

∵四邊形為平行四邊形,

∴∥,又l∥軸,

∴∠∠=∠,

∴△≌△,

∴,

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,

∴

即點(diǎn)坐標(biāo)為

∴符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為和．

過(guò)點(diǎn)作DH⊥軸于點(diǎn),

∵::，

∴::．

設(shè),則點(diǎn)坐標(biāo)為,

∴．

∵點(diǎn)在拋物線上,

∴點(diǎn)坐標(biāo)為,

由(1)知,

∴,

∵∥,

∴△∽△,

∴,

∴,

即①,

又在拋物線上,

∴②，

將代入①得：,

解得(舍去),

把代入②得:．