Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且AE= AB，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q，對于下列結(jié)論：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等邊三角形．其中正確的是（ ）
A.①②
B.②③
C.①③
D.①④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵AE= AB， ∴BE=2AE，
由翻折的性質(zhì)得，PE=BE，
∴∠APE=30°，
∴∠AEP=90°﹣30°=60°，
∴∠BEF= （180°﹣∠AEP）= （180°﹣60°）=60°，
∴∠EFB=90°﹣60°=30°，
∴EF=2BE，故①正確；
∵BE=PE，
∴EF=2PE，
∵EF＞PF，
∴PF＜2PE，故②錯誤；
由翻折可知EF⊥PB，
∴∠EBQ=∠EFB=30°，
∴BE=2EQ，EF=2BE，
∴FQ=3EQ，故③錯誤；
由翻折的性質(zhì)，∠EFB=∠EFP=30°，
∴∠BFP=30°+30°=60°，
∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，
∴∠PBF=∠PFB=60°，
∴△PBF是等邊三角形，故④正確；
綜上所述，結(jié)論正確的是①④．
故選：D．

【考點精析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和翻折變換（折疊問題）的相關(guān)知識點，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能正確解答此題．