Question

如圖1，在平面直角坐標系中，點B在直線y=2x上，過點B作x軸的垂線，垂足為A，OA=5．若拋物線過點O、A兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若A點關于直線y=2x的對稱點為C，判斷點C是否在該拋物線上，并說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，⊙O₁是以BC為直徑的圓．過原點O作O₁的切線OP，P為切點（P與點C不重合），拋物線上是否存在點Q，使得以PQ為直徑的圓與O₁相切？若存在，求出點Q的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將O、A的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值；
（2）根據A點的坐標和直線OB的解析式可求出B點的坐標，進而可求出OA、AB、OB的長；設AC與OB的交點為E，連接OC，由于A、C關于OB對稱，那么OB垂直平分線段AC，則有BC=AB，AE=CE，OA=OC，由此可求出OC、BC的長，在Rt△BCO中，根據直角三角形面積的不同表示方法，可求出CE的長，進而可得到AC的長；過C作CD⊥x軸于D，易證得△CDA∽△OAB，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求出AD、CD的長，從而得到C點的坐標；然后將C點坐標代入拋物線的解析式中進行驗證即可；
（3）在（2）中已經證得BC⊥OC，則OC是⊙O₁的切線，由于P、C不重合，所以P點在第一象限；連接O₁P，若存在符合條件的Q點，那么點Q必為直線O₁P與拋物線的交點，所以解決此題的關鍵是求出O₁、P的坐標；過O₁作O₁H⊥x軸于H，則O₁H是梯形CDAB的中位線，易得AH=DH=AD，由此可得求出AH、DH的長，進而可求出OH的長，根據梯形中位線定理即可得到O₁H的長，由此可求出點O₁的坐標；過P作PF⊥x軸于F，由于OC、OP都是圓的切線，則OC=OP=O₁C=O₁P=5，由此可得四邊形OCO₁P是正方形，得∠POC=90°，根據等角的余角相等，可證得∠OCD=∠POF，由此可證得△POF≌△COD，即可得到PF、OF的長，也就得出了P點的坐標，然后用待定系數法即可求出直線O₁P的解析式，聯立拋物線的解析式，即可得到Q點的橫坐標．
解答：解：
（1）把O（0，0）、A（5，0）分別代入y=x²+bx+c，
得，
解得；
∴該拋物線的解析式為y=x²-x；

（2）點C在該拋物線上．
理由：過點C作CD⊥x軸于點D，連接OC，設AC交OB于點E
∵點B在直線y=2x上，
∴B（5，10）
∵點A、C關于直線y=2x對稱，
∴OB⊥AC，CE=AE，BC⊥OC，OC=OA=5，BC=BA=10
又∵AB⊥x軸，由勾股定理得OB=5
∵S_Rt△OAB=AE•OB=OA•AB
∴AE=2，∴AC=4；
∵∠OBA+∠CAB=90°，∠CAD+∠CAB=90°，
∴∠CAD=∠OBA；
又∵∠CDA=∠OAB=90°，
∴△CDA∽△OAB
∴==；
∴CD=4，AD=8；
∴C（-3，4）
當x=-3時，y=×9-×（-3）=4；
∴點C在拋物線y=x²-x上；

（3）拋物線上存在點Q，使得以PQ為直徑的圓與⊙O₁相切；
過點P作PF⊥x軸于點F，連接O₁P，過點O₁作O₁H⊥x軸于點H；
∵CD∥O₁H∥BA
∴C（-3，4），B（5，10）
又∵O₁是BC的中點，
∴由平行線分線段成比例定理得AH=DH=AD=4，
∴OH=OA-AH=1，同理可得O₁H=7，
∴點O₁的坐標為（1，7）
∵BC⊥OC，∴OC為⊙O₁的切線；
又∵OP為⊙O₁的切線，
∴OC=OP=O₁C=O₁P=5
∴四邊形OPO₁C為正方形，
∴∠POF=∠OCD
又∵∠PFO=∠ODC=90°，
∴△POF≌△OCD
∴OF=CD，PF=OD，
∴P（4，3）
設直線O₁P的解析式為y=kx+b（k≠0），
把O₁（1，7）、P（4，3）分別代入y=kx+b，
得，
解得；
∴直線O₁P的解析式為y=x+；
若以PQ為直徑的圓與⊙O₁相切，則點Q為直線O₁P與拋物線的交點，可設點Q的坐標為（m，n），
則有n=m+，n=y=m²-m
∴m+=m²-m，
整理得m²+3m-50=0
解得m=，
∴點Q的橫坐標為或．
點評：此題考查了二次函數解析式的確定、軸對稱的性質、解直角三角形、相似三角形及全等三角形的判定和性質、切線的判定和性質、切線長定理、函數圖象交點坐標的求法等；涉及知識點較多，難度很大．