Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)y1=(x﹣2)(x﹣4)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo) ．

（2）點(diǎn)P在對(duì)稱軸l上，位于點(diǎn)C上方，且CP=2CD，以P為頂點(diǎn)的二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)A．

①試說(shuō)明二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)B；

②點(diǎn)R在二次函數(shù)y1=（x﹣2）（x﹣4）的圖象上，到x軸的距離為d，當(dāng)點(diǎn)R的坐標(biāo)為 時(shí)，二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于2d；

③如圖2，已知0＜m＜2，過(guò)點(diǎn)M（0，m）作x軸的平行線，分別交二次函數(shù)y1=（x﹣2）（x﹣4）y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象于點(diǎn)E、F、G、H（點(diǎn)E、G在對(duì)稱軸l左側(cè)），過(guò)點(diǎn)H作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，交二次函數(shù)y1=（x﹣2）（x﹣4）的圖象于點(diǎn)Q，若△GHN∽△EHQ，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】（1）（3，﹣1）（2）①二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)B②（3﹣，1）、（3+，1）或（3，﹣1）③當(dāng)△GHN∽△EHQ，實(shí)數(shù)m的值為1．

【解析】（1）∵y1=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣1）．故答案為：（3，﹣1）．

（2）①∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸l上，位于點(diǎn)C上方，且CP=2CD，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2），

∴二次函數(shù)y1=（x﹣2）（x﹣4）與y2=ax2+bx+c的圖象的對(duì)稱軸均為x=3，

∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=3對(duì)稱，∴二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)B．

②∵二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)P（3，2），且圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于2d，∴2d=2，解得：d=1．令y1=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8中y1=±1，即x2﹣6x+8=±1，

解得：x1=3﹣，x2=3+，x3=3，∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為（3﹣，1）、（3+，1）或（3，﹣1）．

故答案為：（3﹣，1）、（3+，1）或（3，﹣1）．

③設(shè)過(guò)點(diǎn)M平行x軸的直線交對(duì)稱軸l于點(diǎn)K，直線l也是二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對(duì)稱軸．

∵二次函數(shù)y2=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A、B，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（3，2），

∴二次函數(shù)y2=﹣2（x﹣2）（x﹣4）．

設(shè)N（n，0），則H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），

∴HN=2（n﹣2）（n﹣4），QN=（n﹣2）（n﹣4），∴=2，即=．

∵△GHN∽△EHQ，∴．∵G、H關(guān)于直線l對(duì)稱，∴KG=KH=HG，∴．

設(shè)KG=t（t＞0），則G的坐標(biāo)為（3﹣t，m），E的坐標(biāo)為（3﹣2t，m），

由題意得：，解得：或（舍去）．

故當(dāng)△GHN∽△EHQ，實(shí)數(shù)m的值為1．