【題目】如圖①,正方形ABCD中,點A,B的坐標分別為(0,10),(8,4),點C在第一象限.動點P在正方形ABCD的邊上,從點A出發(fā)沿A→B→C→D→A勻速運動,同時動點Q以相同的速度在x軸正半軸上運動,當點P到達A點時,兩點同時停止運動,設運動的時間為t秒.

(1)當P點在邊AB上運動時點Q的橫坐標x(長度單位)關于運動時間t(秒)的函數(shù)圖象如圖②所示,請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度;

(2)求正方形邊長及頂點C的坐標;
(3)在(1)中,設△OPQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關系式并寫出自變量的取值范圍.
(4)如果點P、Q保持原速度不變,當點P沿A→B→C→D勻速運動時,OP與PQ能否相等?若能,寫出所有符合條件的t的值;若不能,請說明理由.

【答案】
(1)

解:如圖①,過B作BF⊥OA于F,

∵A(0,10),

∴OA=10,

∵B(8,4),

∴BF=8,OF=4,

∴AF=10﹣4=6,

∴AB=10,

由圖②知:點P在邊AB上運動時間為10秒,所以速度為:10÷10=1,

Q(1,0),

則點P運動速度為每秒1個單位長度;


(2)

解:如圖③,過B作BF⊥y軸于點F,BE⊥x軸于點E,則BF=8,OF=BE=4,

由(1)知:AF=6,AB=10;

過C作CG⊥x軸于點G,與FB的延長線交于點H,

∵∠ABC=90°,AB=BC,

∴△ABF≌△BCH,

∴BH=AF=6,CH=BF=8,

∴OG=FH=8+6=14,CG=8+4=12,

∴所求C點的坐標為(14,12);


(3)

解:過點P作PM⊥y軸于點M,PN⊥x軸于點N,

∴PM∥BF,

則△APM∽△ABF,

,

= = ,

∴AM= ,PM= t,

∴PN=OM=10﹣ t,ON=PM= t,

∴S=SOPQ= PNOQ

= ×(10﹣ t)(1+t)=﹣ (0≤t≤10);


(4)

解:OP與PQ相等,組成等腰三角形,即當P點的橫坐標等于Q點的橫坐標的一半時,滿足條件;

①當P在AB上時,如圖③, t= (t+1),t= ,OP與PQ相等,

②當P在BC上時,如圖④,則PB=t﹣10,

sin∠ABF=sin∠BPM=

,

∴BM= (t﹣10),

∴ON=BF+BM=8+ (t﹣10),

8+ (t﹣10)= (t+1),解得:t=﹣15(舍),

③當P在CD上時,如圖⑤,則PC=t﹣20,

cos∠PCR=cos∠BCH= ,

,

∴CR=MH= (t﹣20),

∴ON=OG﹣NG=FH﹣MH=14﹣ (t﹣20),

14﹣ (t﹣20)= (t+1),解得:t= ,

即當t= 時,OP=PQ,

綜上所述,當t= 時,OP與PQ相等.


【解析】(1)由A和B兩點的坐標求正方形邊長AB,由圖②得:P在邊AB上運動10秒,Q開始運動時,橫坐標為1;(2)由(1)知,正方形邊長為10,根據(jù)三角形全等得:BH=AF=6,CH=BF=8,所以可得OG=14,CG=12,寫出C點的坐標;(3)作輔助線,證明△APM∽△ABF,列比例式得:AM= ,PM= t,根據(jù)面積公式可得S與t的關系式;(4)OP與PQ相等,組成等腰三角形,即當P點的橫坐標等于Q點的橫坐標的一半;分三種情況進行討論:點P分別在AB、BC、CD上時,根據(jù)這一等量關系列式可得t的值.

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