【題目】已知△ABC三邊長a=b=6,c=12.
(1)如圖1,以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,直接出點(diǎn)B,C的坐標(biāo).
(2)如圖2,過點(diǎn)C作∠MCN=45°交AB于點(diǎn)M,N,請證明AM2+BN2=MN2;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)M,N分布在點(diǎn)B異側(cè)時,則(3)中的結(jié)論還成立嗎?
【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,6);(2)見解析;(3)仍然成立.
【解析】
(1)利用勾股定理逆定理判斷出是直角三角形,從而得到△ABC是等腰直角三角形,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)即可得解;
(2)把△ACM繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCM′,連接M′N,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AM=BM′、CM=CM′、∠CAM=∠CBM′,∠ACM=∠BCM′,然后求出∠MCN=∠M′CN,∠M′BN=90°,再利用“邊角邊”證明△MCN和△M′CN全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MN=M′N,然后利用勾股定理列式證明即可;
(3)把△BCN繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACN′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AN′=BN,CN′=CN,∠CAN′=∠CBN,然后判斷出點(diǎn)N′在y軸上,再求出∠MCN′=45°,從而得到∠MCN=∠MCN′,再利用“邊角邊”證明△MCN和△MCN′全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MN=MN′,然后利用勾股定理列式即可得證.
(1)∵a=b=6,c=12,
∵a2+b2=(6)2+(6)2=144=c2,
∴△ABC是直角三角形,
又∵a=b,
∴△ABC是等腰直角三角形;
∵AB=c=12,
∴點(diǎn)B(12,0),
如圖1,過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D,
則AD=CD=AB=×12=6,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,6);
(2)如圖,把△ACM繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCM′,連接M′N,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,AM=BM′、CM=CM′、∠CAM=∠CBM′=45°,∠ACM=∠BCM′,
∴∠M′BN=∠ABC+∠CBN′=45°+45°=90°,
∵∠MCN=45°,
∴∠M′CN=∠BCN+∠BCM′=∠BCN+∠ACM=90°﹣∠MCN=90°﹣45°=45°,
∴∠MCN=∠M′CN,
在△MCN和△M′CN中,
∵,
∴△MCN≌△M′CN(SAS),
∴MN=M′N,
在Rt△M′NB中,BM′2+BN2=M′N2,
∴AM2+BN2=MN2;
(3)仍然成立,
如圖3,∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
把△BCN繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACN′,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,AN′=BN,CN′=CN,∠CAN′=∠CBN=135°,
∴∠MAN′=135°﹣45°=90°,
∴點(diǎn)N′在y軸上,
∵∠MCN=45°,
∴∠MCN′=90°﹣45°=45°,
∴∠MCN=∠MCN′,
在△MCN和△MCN′中,
∵,
∴△MCN≌△MCN′(SAS),
∴MN=MN′,
在Rt△AMN′中,AM2+AN′2=MN′2,
∴AM2+BN2=MN2.
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請你結(jié)合圖中信息,解答下列問題:
(1)本次共調(diào)查了名學(xué)生;
(2)被調(diào)查的學(xué)生中,最喜愛丁類圖書的學(xué)生有人,最喜愛甲類圖書的人數(shù)占本次被調(diào)查人數(shù)的%;
(3)在最喜愛丙類圖書的學(xué)生中,女生人數(shù)是男生人數(shù)的1.5倍,若這所學(xué)校共有學(xué)生1500人,請你估計(jì)該校最喜愛丙類圖書的女生和男生分別有多少人?
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