Question

【題目】小明在學習過程中，對教材中的一個有趣問題做如下探究：

（習題回顧）已知：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點F．求證：∠CFE=∠CEF；

（變式思考）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分線交CD的延長線于點F，其反向延長線與BC邊的延長線交于點E，則∠CFE與∠CEF還相等嗎？說明理由；

（探究廷伸）如圖3，在△ABC中，在AB上存在一點D，使得∠ACD=∠B，角平分線AE交CD于點F．△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點M．試判斷∠M與∠CFE的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠CEF=∠CFE，證明見解析；（3）∠M+∠CFE=90°，證明見解析.

【解析】

[習題回顧]根據(jù)三角形的外角的性質證明；

[變式思考]根據(jù)角平分線的定義、直角三角形的性質解答；

[探究廷伸】同（1）、（2）的方法相同．

[習題回顧]證明：∵∠ACB=90°，CD是高，

∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，

∴∠B=∠ACD，

∵AE是角平分線，

∴∠CAF=∠DAF，

∵∠CFE=∠CAF+∠ACD∠CEF=∠DAF+∠B，

∴∠CEF=∠CFE；

[變式思考]∠CEF=∠CFE

證明：∵AF為∠BAG的角平分線，

∴∠GAF=∠DAF，

∵CD為AB邊上的高，

∴∠ACB=90°，

∴∠ADF=∠ACE=90°，

又∵∠CAE=∠GAF，

∴∠CEF=∠CFE；

[探究思考]∠M+∠CFE=90°，

證明：∵C、A、G三點共線 ， AE、AN為角平分線，

∴∠EAN=90°，

∴∠M+∠CEF=90°，

∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，

∴∠CEF=∠CFE，

∴∠M+∠CFE=90°．