Question

【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,直線分別交軸、軸于、兩點,且,滿足，且，是常數(shù)。直線平分，交軸于點。

(1)若的中點為，連接交于，求證：；

(2)如圖2，過點作，垂足為，猜想與間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,在軸上有一個動點(在點的右側(cè)),連接,并作等腰,其中，連接并延長交軸于點，當點在運動時，的長是否發(fā)生改變?若改變，請求出它的變化范圍；若不變，求出它的長度.

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2).證明見解析； (3)的長不變，且.

【解析】

（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出點A、B的坐標，然后得出△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)OM⊥AB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD=22.5°，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)與三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠OND=67.5°，∠ODB=67.5°，利用等角對等邊得到ON=OD；

（2）延長AE交BO于C，得△ABE≌△CBE，得到AC=2AE，再證△OAC≌△OBD得到BD=AE，從而得到BD=2AE；

（3）作FH⊥OP，垂足為H，利用角角邊定理可以證明△OBP與△HPF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FH=OP、PH=OB=4t，再證FH=AH，∠FAH=∠GAO=45°，OG=OA=4t．即可得到結(jié)論．

（1）∵直線分別交軸、軸于、兩點，且，滿足，且，

，

當時，，

當時，，

解得：，

點，的坐標是，，

是等腰直角三角形．

∵點是中點，

，

，

∵直線平分，

，

，

，

，

（等角對等邊）；

（2）答：．

理由如下：延長交于，

平分，

，

于點，

，

在△ABE和△CBE中，∵∠ABD=∠CBD，BE=BE，∠AEB=∠CEB=90°，

，

，

，

，

，

又∵，（對頂角相等），

，

在與中，∵，

，

，

；

（3）的長不變，且．

過作，垂足為，．

，，．

是等腰直角三角形，．

在與中，∵∠BPO=∠PFH，∠BOP=∠PHF=90°，BP=PF，

，

，，

，，

，

，

，

是等腰直角三角形，

．