Question

【題目】如圖①，已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)（x＞0）的圖像上，點(diǎn)B在經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－2，1）的反比例函數(shù)（x＜0）的圖像上，連結(jié)OA,OB,AB.

（1）求k的值；

（2）若∠AOB＝90°，求∠OAB的度數(shù)；

（3）將反比例函數(shù)（x＞0）的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到曲線(xiàn)l，過(guò)點(diǎn)E ，F的直線(xiàn)與曲線(xiàn)l相交于點(diǎn)M,N，如圖②所示，求△OMN的面積.

Answer 1

【答案】（1）-2；（2）30°；（3）8

【解析】

（1）把點(diǎn)（-2,1）代入反比例函數(shù)即可求出k的值；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，設(shè)點(diǎn)B（a,-），點(diǎn)A（b，）設(shè)點(diǎn)B（a,-），點(diǎn)A（b，）則CO=-a,BC=-,AD=,OD=b，證得△BCO∽△ODA故

得出ab=-2，求得 tan∠BAO=，故∠BAO=30°；

（3）由點(diǎn)E ，F，得OE⊥OF建立新的坐標(biāo)系，OF為x’軸，OE為y’軸，在新的坐標(biāo)系中，E（0,8），F（4,0）求得直線(xiàn)EF的解析式為y’=-2x’+8，聯(lián)立兩函數(shù)解得M（1,6），N（3,2），即可求出△OMN的面積.

（1）∵把點(diǎn)（-2,1）代入反比例函數(shù)（x＜0），

∴k=-2×1=-2，

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，

設(shè)點(diǎn)B（a,-），點(diǎn)A（b，）

∴CO=-a,BC=-,AD=,OD=b

∵∠AOB=90°，

∴∠BOC+∠AOD=90°，且∠BOC+∠CBO=90°，

∴∠AOD=∠CBO，且∠BCO=∠ADO=90°

∴△BCO∽△ODA

∴

∴

∴ab=-2

∴

∴tan∠BAO=

∴∠BAO=30°

（3）∵點(diǎn)E ，F

∴OE⊥OF

建立如圖2新的坐標(biāo)系，OF為x’軸，OE為y’軸，

在新的坐標(biāo)系中，E（0,8），F（4,0）代入y’=kx’+b

求得直線(xiàn)EF的解析式為y’=-2x’+8

由

解得或

∴M（1,6），N（3,2）

∴S△OMN= S△OFM- S△OFN=