Question

【題目】閱讀與思考；

婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，書寫了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)與天文的書籍，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位，他的負(fù)數(shù)及加減法運(yùn)算僅晚于中國(guó)九章算術(shù)而他的負(fù)數(shù)乘除法法則在全世界都是領(lǐng)先的，他還提出了著名的婆羅摩笈多定理，該定理的內(nèi)容及證明如下：

已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接與圓O對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)M，ME⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EM交CD于F，求證：MF=DF

證明∵AC⊥BD，ME⊥BC

∴∠CBD=∠CME

∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF

∴∠CAD=∠AMF

∴AF=MF

∵∠AMD=90°，同時(shí)∠MAD+∠MDA=90°

∴∠FMD=∠FDM

∴MF=DF，即F是AD中點(diǎn)．

（1）請(qǐng)你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過(guò)程，完成婆羅摩笈多逆定理的證明：

已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接與圓O，對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)M，F是AD中點(diǎn)，連接FM并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，求證：ME⊥BC

（2）已知如圖2，△ABC內(nèi)接于圓O，∠B=30°∠ACB=45°，AB=2，點(diǎn)D在圓O上，∠BCD=60°，連接AD 交BC于點(diǎn)P，作ON⊥CD于點(diǎn)N，延長(zhǎng)NP交AB于點(diǎn)M，求證PM⊥BA并求PN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）證明見解析, PN=1．

【解析】試題分析：（1）由于AC⊥BD，所以∠AMD=90°，∠FAM+∠FDM=90°，由于F是AD的中點(diǎn)，所以AF=MF=DF，從而可證明∠EMC+∠MCB=90°．

（2）由圓周角定理得出∠D=∠B=30°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC=45°，得出△APC是等腰直角三角形，∴PA=PC，∠CPD=90°，由（1）的證明過(guò)程可知：PM⊥BA，再由含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求出AP=1，CD=2，最后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出PN的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）∵AC⊥BD，

∴∠AMD=90°，

∵F是AD的中點(diǎn)，

∴AF=MF=DF，

∴∠FAM=∠FMA，

∠FMD=∠FDM，

∵∠FDM=∠MCB，∠FMA=∠EMC，

∠FAM+∠FDM=90°

∴∠EMC+∠MCB=90°，

∴ME⊥BC；

（2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°，

∴∠ACD=45°+60°=105°，

又∵∠D=∠B=30°，

∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°，

∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°，△APC是等腰直角三角形，

∴PA=PC，∠APC=90°，

∴AD⊥BC，

∵ON⊥CD，

∴由垂徑定理可知：N是CD的中點(diǎn)，

∴由（1）的證明過(guò)程可知：PM⊥BA

∵AB=2，∠B=30°，

∴AP=1，

∴PC=1，

∵∠D=30°，

∴CD=2PC=2，

∵N是CD的中點(diǎn)，∠CPD=90°，

∴PN=CD=1．