Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+1與y=-

3

4

x+3交于點(diǎn)A，分別交x軸于點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△CBD為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在直線AB上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E，D，O，A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫(xiě)出

BE

CD

的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）在y=x+1中，當(dāng)y=0時(shí)，x+1=0，∴x=-1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）．（1'）
在y=-

3

4

x+3中，當(dāng)y=0時(shí)，-

3

4

x+3=0，∴x=4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）． （2分）
由題意，得

y=x+1 y=- 3 4 x+3

解得

x= 8 7 y= 15 7

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

8

7

，

15

7

）．（3分）

（2）當(dāng)△CBD為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況，如圖（1）．設(shè)動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y）．
由（1），得B（-1，0），C（4，0），∴BC=5．
①當(dāng)BD₁=D₁C時(shí)，過(guò)點(diǎn)D₁作D₁M₁⊥x軸，垂足為點(diǎn)M₁，則BM₁=M₁C=

1

2

BC．
∴BM₁=

5

2

，OM₁=

5

2

-1=

3

2

，x=

3

2

．
∴y=-

3

4

×

3

2

+3=

15

8

，點(diǎn)D₁的坐標(biāo)為(

3

2

，

15

8

)．（4分）
②當(dāng)BC=BD₂時(shí)，過(guò)點(diǎn)D₂作D₂M₂⊥x軸，垂足為點(diǎn)M₂，則D₂M₂²+M₂B²=D₂B²，
∵M(jìn)₂B=-x-1，D₂M₂=-

3

4

x+3，D₂B=5，
∴（-x-1）²+（-

3

4

x+3）²=5²．
解得x₁=-

12

5

，x₂=4（舍去）．此時(shí)，y=-

3

4

×(-

12

5

)+3=

24

5

．
∴點(diǎn)D₂的坐標(biāo)為(-

12

5

，

24

5

)．（6分）
③當(dāng)CD₃=BC，或CD₄=BC時(shí)，同理可得D₃（0，3），D₄（8，-3）．（9分）
由此可得點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為D₁（

3

2

，

15

8

），D₂（-

12

5

，

24

5

），D₃（0，3），D₄（8，-3）．
評(píng)分說(shuō)明：符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，正確求出1個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得（1分），2個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得（3分），3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得（5分），4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得滿分；與所求點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)．

（3）存在．以點(diǎn)E，D，O，A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形有以下三種情形，如圖（2）．
①當(dāng)四邊形AE₁OD₁為平行四邊形時(shí)，

BE1

CD1

=

3 2

20

． （10分）
②當(dāng)四邊形AD₂E₁O為平行四邊形時(shí)，

BE1

CD2

=

2

10

．（11分）
③當(dāng)四邊形AOD₁E₂為平行四邊形時(shí)，

BE2

CD1

=

27 2

20

．（12分）