Question

【題目】某超市為了銷售一種新型“吸水拖把”，對(duì)銷售情況作了調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)每月銷售量y（只）與銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，所調(diào)查的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：（已知每只進(jìn)價(jià)為10元，銷售單價(jià)為整數(shù)，每只利潤(rùn)＝銷售單價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）

銷售單價(jià)x（元）	20	22	25	…
月銷售額y（只）	300	280	250	…

（1）求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式

（2）該新型“吸水拖把”每月的總利潤(rùn)為w（元），求w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并指出銷售單價(jià)為多少元時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？

（3）由于該新型“吸水拖把”市場(chǎng)需求量較大，廠家又進(jìn)行了改裝，此時(shí)超市老板發(fā)現(xiàn)進(jìn)價(jià)提高了m元，當(dāng)每月銷售量與銷售單價(jià)仍滿足上述一次函數(shù)關(guān)系，隨著銷量的增大，最大利潤(rùn)能減少1750元，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣10x+500（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)4000元（3）10

【解析】

（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．（2）總利潤(rùn)＝單件利潤(rùn)×總銷售量，先表示出w，再根據(jù)二次函數(shù)求最值問題進(jìn)行配方即可．（3）含參數(shù)的二次函數(shù)問題，先表示出w，根據(jù)最大利潤(rùn)列式即可求出m．

（1）設(shè)y＝kx+b（k≠0），

根據(jù)題意代入點(diǎn)（20，300），（25，250），

∴

解得 ，

∴y＝﹣10x+500．

（2）依題意得，w＝（x﹣10）（﹣10x+500）＝﹣10x2+600x﹣5000＝﹣10（x﹣30）2+4000，

∵a＝﹣10＜0，

∴當(dāng)x＝30時(shí)，w有最大值4000，

即當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)4000元．

（3）最新利潤(rùn)可表示為﹣102+600x﹣5000﹣m（﹣10x+500）＝﹣10x2+（600+10m）x﹣5000﹣500m，

∴此時(shí)最大利潤(rùn)為 ＝4000﹣1750，

解得m1＝10，m2＝70，

∵當(dāng)m＝70時(shí)，銷量為負(fù)數(shù)舍去．

∴m＝10．