【題目】如圖,在Rt△ABO中,∠BAO=90°,AO=AB,BO=8,點A的坐標(biāo)(﹣8,0),點C在線段AO上以每秒2個單位長度的速度由A向O運動,運動時間為t秒,連接BC,過點A作AD⊥BC,垂足為點E,分別交BO于點F,交y軸于點 D.
(1)用t表示點D的坐標(biāo) ;
(2)如圖1,連接CF,當(dāng)t=2時,求證:∠FCO=∠BCA;
(3)如圖2,當(dāng)BC平分∠ABO時,求t的值.
【答案】(1)(0,2t);(2)見解析;(3)t=4(﹣1)
【解析】
(1)由已知條件可證明△ABC≌△OAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出點D的坐標(biāo);
(2)由(1)的結(jié)論可證明△FOD≌△FOC,從而∠FCO=∠FDO,再根據(jù)(1)中△ABC≌△OAD,可得∠ACB=∠ADO,進(jìn)而∠FCO=∠ACB得證;
(3)在AB上取一點K,使得AK=AC,連接CK.設(shè)AK=AC=m,則CK=m,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形外角和定理可得KB=KC=m,從而求得m的值,進(jìn)而t的值也可求出.
解:(1)∵AD⊥BC,
∴∠AEB=90°=∠BAC=∠AOD,
∴∠ABC+∠BAE=90°,∠BAE+∠OAD=90°,
∴∠ABC=∠OAD,
∵AB=OA,
∴△ABC≌△OAD(ASA),
∴OD=AC=2t,
∴D(0,2t).
故答案為(0,2t);
(2)如圖1中,
∵AB=AO,∠BAO=90°,OB=,
∴AB=AO=8,
∵t=2,
∴AC=OD=4,
∴OC=OD=4,
∵OF=OF,∠FOD=∠FOC,
∴△FOD≌△FOC(SAS),
∴∠FCO=∠FDO,
∵△ABC≌△OAD,
∴∠ACB=∠ADO,
∴∠FCO=∠ACB;
(3)如圖2中,在AB上取一點K,使得AK=AC,連接CK.設(shè)AK=AC=m,則CK=m.
∵CB平分∠ABO,
∴∠ABC=22.5°,
∵∠AKC=45°=∠ABC+∠KCB,
∴∠KBC=∠KCB=22.5°,
∴KB=KC=m,
∴m+m=8,
∴m=8(),
∴t==4(﹣1).
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【題目】矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內(nèi)部,點E在邊BC上,滿足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,則PE的長為數(shù)___________.
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【題目】已知,如圖,矩形ABCD的頂點A,D分別在的邊PM,PN上,頂點B、C在的邊MN上且.
請在圖1中在線段AB的左側(cè)畫一個矩形EGBF∽矩形ABCD,使得點E,點G,點F分別在線段AM、AB、MB上保留必要的痕跡,并作簡單的說明
若矩形ABCD的邊,,請計算中矩形EGBF的邊長EF的長度.
若矩形ABCD的邊,,則中矩形EGBF的邊長EF的長度為______.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E,F分別在邊AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延長線交BA的延長線于點G,CE的延長線交DA的延長線于點H,連接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)線段AC,AG,AH什么關(guān)系?請說明理由;
(3)設(shè)AE=m,
①△AGH的面積S有變化嗎?如果變化.請求出S與m的函數(shù)關(guān)系式;如果不變化,請求出定值.
②請直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB邊上的中線,E是CD的中點,過點C作AB的平行線交AE的延長線于點F,連接BF.
(1)求證:四邊形BDCF是菱形;
(2)當(dāng)Rt△ABC中的邊或角滿足什么條件時?四邊形BDCF是正方形,請說明理由.
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【題目】(本題滿分10分)古運河是揚州的母親河,為打造古運河風(fēng)光帶,現(xiàn)有一段長為180米的河道整治任務(wù)由兩工程隊先后接力完成.工作隊每天整治12米,工程隊每天整治8米,共用時20天.
(1)根據(jù)題意,甲、乙兩名同學(xué)分別列出尚不完整的方程組如下:
甲: 乙:
根據(jù)甲、乙兩名同學(xué)所列的方程組,請你分別指出未知數(shù)表示的意義,然后在方框中補全甲、乙兩名同學(xué)所列的方程組:
甲:表示________________,表示_______________;
乙:表示________________,表示_______________.
(2)求兩工程隊分別整治河道多少米.(寫出完整的解答過程)
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【題目】如圖,扇形OAB中,∠AOB=100°,OA=12,C是OB的中點,CD⊥OB交于點D,以O(shè)C為半徑的交OA于點E,則圖中陰影部分的面積是( )
A. 12π+18 B. 12π+36 C. 6π+18 D. 6π+36
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【題目】某學(xué)校為調(diào)查學(xué)生的興趣愛好,抽查了部分學(xué)生,并制作了如下表格與條形統(tǒng)計圖:
頻數(shù) | 頻率 | |
體育 | 40 | 0.4 |
科技 | 25 | a |
藝術(shù) | b | 0.15 |
其它 | 20 | 0.2 |
請根據(jù)上圖完成下面題目:
(1)總?cè)藬?shù)為 人,a= ,b= .
(2)請你補全條形統(tǒng)計圖.
(3)若全校有600人,請你估算一下全校喜歡藝術(shù)類學(xué)生的人數(shù)有多少?
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=8cm,AC=6cm,動點P從點C出發(fā)沿CB方向以3cm/s的速度向點B運動,同時動點Q從點B出發(fā)沿BA方向以2cm/s的速度向點A運動,將△APQ沿直線AB翻折得△AP′Q,若四邊形APQP′為菱形,則運動時間為( )
A. 1sB. sC. sD. s
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