【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=﹣1,且拋物線經(jīng)過(guò)A(1,0),C(0,3)兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)B.

(1)若直線y=mx+n經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn),求直線BC和拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1,;(2M(-1,2);(3P的坐標(biāo)為(-1,-2)或(-1,4) 或(-1,) 或(-1,).

【解析】試題分析:(1)先把點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到ab,c的關(guān)系式,再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可得ab的關(guān)系,再聯(lián)立得到方程組,解方程組,求出a,bc的值即可得到拋物線解析式;把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=mx+n,解方程組求出mn的值即可得到直線解析式;

2)設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)為M,則此時(shí)MA+MC的值最。x=-1代入直線y=x+3y的值,即可求出點(diǎn)M坐標(biāo);

3)設(shè)P-1,t),又因?yàn)?/span>B-3,0),C0,3),所以可得BC2=18,PB2=-1+32+t2=4+t2,PC2=-12+t-32=t2-6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析:(1)依題意得: ,

解之得:

拋物線解析式為y=-x2-2x+3

對(duì)稱軸為x=-1,且拋物線經(jīng)過(guò)A1,0),

B-3,0)、C0,3)分別代入直線y=mx+n

,

解之得: ,

直線y=mx+n的解析式為y=x+3

2)設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)為M,則此時(shí)MA+MC的值最。

x=-1代入直線y=x+3得,y=2

∴M-1,2),

即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為(-1,2);

3)設(shè)P-1,t),

∵B-3,0),C0,3),

∴BC2=18,PB2=-1+32+t2=4+t2,

PC2=-12+t-32=t2-6t+10,

若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),則BC2+PB2=PC2

即:18+4+t2=t2-6t+10解之得:t=-2;

若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),則BC2+PC2=PB2

即:18+t2-6t+10=4+t2解之得:t=4,

若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),則PB2+PC2=BC2

即:4+t2+t2-6t+10=18解之得:t1=,t2=

綜上所述P的坐標(biāo)為(-1-2)或(-1,4)或(-1) 或(-1, ).

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(1)直接寫(xiě)出拋物線y=-x2+1的勾股點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)如圖②,已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(1, )是拋物線的勾股點(diǎn),求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(3)在(2)的條件下,點(diǎn)Q在拋物線上,求滿足條件S△ABQ=S△ABP的Q點(diǎn)(異于點(diǎn)P)的坐標(biāo).

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(2)小強(qiáng)希望他的頭部E恰好在洗漱盆AB的中點(diǎn)O的正上方,他應(yīng)向前或后退多少?

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(1)求直線BC的解析式;

(2)當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).

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品牌

A品牌

B品牌

被檢測(cè)數(shù)

70

10

不合格數(shù)

3

1

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