【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,對角線AC為⊙O的直徑,過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E,點F為CE的中點,連接DB,DF.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若DB平分∠ADC,AB=a,AD:DE=4:1,寫出求DE長的思路.
【答案】
(1)解:證明:連接OD.
∵OD=CD,
∴∠ODC=∠OCD.
∵AC為⊙O的直徑,
∴∠ADC=∠EDC=90°.
∵點F為CE的中點,
∴DF=CF.
∴∠FDC=∠FCD.
∴∠FDO=∠FCO.
又∵AC⊥CE,
∴∠FDO=∠FCO=90°.
∴DF是⊙O的切線
(2)解:)①由DB平分∠ADC,AC為⊙O的直徑,證明△ABC是等腰直角三角形;
②由AB=a,求出AC的長度為 ;
③由∠ACE=∠ADC=90°,∠CAE是公共角,證明△ACD∽△AEC,得到AC2=ADAE;
④設(shè)DE為x,由AD:DE=4:1,求出DE= a.
解:∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB,
∴∠BAC=∠BCA,
∴AB=BC,
∵AC為⊙O的直徑,
∴∠ABC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∵AB=a,
∴AC= a,
∵∠ACE=∠ADC=90°,∠CAE是公共角,
∴△ACD∽△AEC,
∴AC:AE=AD:AC,
∴AC2=ADAE,
設(shè)DE為x,
∵AD:DE=4:1,
∴AD=4x,
∴( a)2=20x2,
解得x= a.
即DE= a.
【解析】(1)連接OD,直接利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°,進而得出答案;(2)首先證明證明△ABC是等腰直角三角形;其次其次AC的長;再證明ACD∽△AEC,得到AC2=ADAE;最后由相似三角形的性質(zhì)即可求出DE的長.
【考點精析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知把圓分成n(n≥3):1、依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形2、經(jīng)過各分點作圓的切線,以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形;相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題:已知:線段a,b(如圖1).
求作:等腰△ABC,使AB=AC,BC=a,BC邊上的高為b.
小姍的作法如下:如圖2,
(i)作線段BC=a;
(ii)作線段BC的垂直平分線MN交線段BC于點D;
(iii)在MN上截取線段DA=b,連接AB,AC.所以,△ABC就是所求作的等腰三角形.
老師說:“小姍的作法正確”.
請回答:得到△ABC是等腰三角形的依據(jù)是: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們用表示不大于的最大整數(shù),例如:,,;用表示大于的最小整數(shù),例如:,,.解決下列問題:
(1)= ,,= ;
(2)若=2,則的取值范圍是 ;若=-1,則的取值范圍是 ;
(3)已知,滿足方程組,求,的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】列方程或方程組解應(yīng)用題: 在某場CBA比賽中,某位運動員的技術(shù)統(tǒng)計如表所示:
技術(shù) | 上場時間(分鐘) | 出手投籃(次) | 投中 | 罰球得分(分) | 籃板 | 助攻(次) | 個人總得分(分) |
數(shù)據(jù) | 38 | 27 | 11 | 6 | 3 | 4 | 33 |
注:(i)表中出手投籃次數(shù)和投中次數(shù)均不包括罰球;
(ii)總得分=兩分球得分+三分球得分+罰球得分.
根據(jù)以上信息,求本場比賽中該運動員投中兩分球和三分球各幾個.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由甲、乙兩個工程隊承包某校校園的綠化工程,甲、乙兩隊單獨完成這項工作所需的時間比是3∶2,兩隊共同施工6天可以完成.
(1)求兩隊單獨完成此項工程各需多少天?
(2)此項工程由甲、乙兩隊共同施工6天完成任務(wù)后,學(xué)校付給他們4000元報酬,若按各自完成的工程量分配這筆錢,問甲、乙兩隊各應(yīng)得到多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分線EF交AC于點E,交BC于點F.試探索BF與CF的數(shù)量關(guān)系,寫出你的結(jié)論并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點O到△ABC的兩邊AB,AC所在直線的距離相等,且OB=OC.
(1)如圖①,若點O在邊BC上,求證:AB=AC;
(2)如圖②,若點O在△ABC的內(nèi)部,求證:AB=AC;
(3)若點O在△ABC的外部,AB=AC成立嗎?請畫圖表示.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在學(xué)習(xí)貫徹十九大精神“我學(xué)習(xí),我踐行”的活動中,計劃組織全校1300名師生到林業(yè)部門規(guī)劃的林區(qū)植樹,經(jīng)研究,決定租用當(dāng)?shù)爻鲎廛嚬咎峁┑?/span>兩種型號的客車共50輛作為交通工具,下表是租車公司提供給學(xué)校有關(guān)兩種型號客車的載客量與租車信息:
型號 | 載客量 | 租金單價 |
30人/輛 | 300元/輛 | |
20人/輛 | 240元/輛 |
注:載客量指的是每輛車客車最多可載該校師生的人數(shù)
(1)設(shè)租用型號客車輛,租車總費用元,求與的函數(shù)解析式,并直接寫出的取值范圍;
(2)若要使租車總費用不超過13980元,一共有幾種租車方案?哪種租車方案最省錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=120,BC=6cm,AB的垂直平分線交BC于點M,交AB于點E,AC的垂直平分線交BC于點N,交AC于點F,則MN的長為( )
A. 1.5cm B. 2cm C. 2.5cm D. 3cm
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