Question

如圖，已知點(diǎn)A（-3，5）在拋物線y=

1

2

x²+c的圖象上，點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)Q出發(fā)，沿y軸以每秒1個(gè)單位的速度向正方向運(yùn)動(dòng)，連接AP并延長，交拋物線于點(diǎn)B，分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足為C、D，連接AQ、BQ．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)A、Q、B三點(diǎn)構(gòu)成以AQ為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P離開點(diǎn)Q多少時(shí)間？
（3）試探索當(dāng)AP、AC、BP、BD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等（即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形）時(shí)，點(diǎn)P離開點(diǎn)Q的時(shí)刻．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A（-3，5）代入拋物線y=

1

2

x²+c，即可求出c的值，從而得二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)P為動(dòng)點(diǎn)以及A、Q、B三點(diǎn)構(gòu)成以AQ為直角邊的直角三角形，分兩種情況討論：①若AQ⊥BQ，過點(diǎn)Q作MQ⊥y軸，可證△AMQ∽△QNB．②若AQ⊥AB，由于AC∥PQ，可證△AMQ∽△QAP，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答；
（3）根據(jù)AP、AC、BP、BD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等，分三種情況討論：①AC=BD，AP=BP時(shí)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答；②AC=AP時(shí)，利用勾股定理結(jié)合一次函數(shù)解析式解答．

解答：解：（1）把A（-3，5）代入得：5=

1

2

×9+c，
∴c=

1

2

．
（2）①若AQ⊥BQ，過點(diǎn)Q作MQ⊥y軸，過點(diǎn)Q作QN⊥BD于點(diǎn)N，
可證△AMQ∽△QNB．
∵AM=AC-MC=

9

2

，MQ=3，
∴

BN

NQ

=

MQ

AM

=

2

3

．
設(shè)B（3k，2k+

1

2

），
代入拋物線解析式得：k=

4

9

，即B（

4

3

，

25

18

）．
∴直線AB的解析式為：y=-

5

6

x+

5

2

．
∴OP=

5

2

，
∴PQ=2．
②若AQ⊥AB，
∵AC∥PQ，可證△AMQ∽△QAP，
又由勾股定理得AQ=

3 13

2

．
∴PQ=

AQ2

AM

=

13

2

．
∴對應(yīng)的時(shí)刻t為：2或

13

2

．
（3）①若AC=BD，AP=BP，
此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，
∴OP=AC=5，
∴PQ=4

1

2

．
②若AC=AP，
設(shè)P（0，y），則：9+（y-5）²=25，
解之得，y=1，即OP=1．
∴PQ=

1

2

．
此時(shí)，直線AP解析式為：y=-

4

3

x+1．
與拋物線的交點(diǎn)B為（

1

3

，

5

9

），
∴PB=

1 9 + 25 81

=

6

9

=BD．
∴滿足條件的時(shí)刻為：

1

2

和4

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．