Question

【題目】數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目．

小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：

（1）特殊情況，探索結(jié)論:當(dāng)點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與的DB大小關(guān)系．請你直接寫出結(jié)論：AE　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．

（2）特例啟發(fā)，解決問題:解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，（請你完成以下解答過程）

（3）拓展結(jié)論，設(shè)計新題:在等邊三角形ABC中，點E在AB的延長線上，點D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長為2，AE＝3，求CD的長．（請畫出符合題意的圖形，并直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）＝；（2）＝，理由見解析；（3）5

【解析】

（1）先證明BD=BE即可解決問題；
（2）作EF∥BC交AC于F．證得△DBE≌△EFC，得出BD=EF=AE，所以BD=AE；
（3）作EF∥BC交AC的延長線于F，證出△EBD≌△CFE，可得BD=EF=AE=3，CD=BD+BC=3+2=5．

解：（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，AE＝EB，

∴∠BCE＝∠ACE＝30°，∠ABC＝60°，

∵ED＝EC，

∴∠D＝∠ECD＝30°，

∵∠EBC＝∠D+∠BED，

∴∠D＝∠BED＝30°，

∴BD＝BE＝AE．

故答案為：＝；

（2）結(jié)論：AE＝BD．理由如下：

如圖2中，作EF∥BC交AC于F．

∵∠AEF＝∠B＝60°，∠A＝60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AE＝EF＝AF，∠AFE＝60°，

∴∠EFC＝∠DBE＝120°，

∵AB＝AC，AE＝AF，

∴BE＝CF，

∵∠D＝∠ECB＝∠CEF，且∠DBE＝∠EFC，BE＝CF，

∴△DBE≌△EFC（AAS），

∴BD＝EF＝AE，

∴BD＝AE，

故答案為：＝；

（3）如圖3中，當(dāng)E在AB的延長線上時，作EF∥BC交AC的延長線于F，

∵EF∥BC，

∴∠BCE＝∠CEF，∠ABC＝∠AEF＝60°，∠ACB＝∠AFE＝60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AE＝EF＝AF＝3，

∴BE＝CF，

∵DE＝CE，

∴∠EDC＝∠DCE，

∴∠EDC＝∠CEF，且BE＝CF，∠F＝∠ABC＝∠DBE＝60°，

∴△DBE≌△EFC（AAS）

∴BD＝EF＝3，

∴CD＝DB+BC＝3+2＝5．