【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2-x+c交x軸于點A和點B(點A在原點的左側(cè),點B在原點的右側(cè)),點A的坐標(biāo)為(-3,0),點B的坐標(biāo)為(1,0),交y軸于點C.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)已知點P為拋物線上一點,直線PC與x軸交于點Q,使得PQ=CQ,求P點坐標(biāo);
(3)若點M是拋物線對稱軸上一點,點N是平面內(nèi)一點,是否存在以A,C,M,N為頂點的矩形?若存在,請直接寫出N點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=-x2-x+4;(2)P點坐標(biāo)(-,5)或(-,5)或(,-5)或(,-5);
(3)存在以A、C、M、N為頂點的矩形,點N的坐標(biāo)為:(2,)或(-4,)或(-2,2-)或(-2,2+).
【解析】
(1)把點A的坐標(biāo)為(-3,0),點B的坐標(biāo)為(1,0)代入y=ax2-x+c求解即可;
(2)設(shè)P(m,-m2-m+4),作PH⊥x軸于H,由平行可得△QCO∽△QPH,由相似三角形對應(yīng)線段成比例可得m值,代入求點P坐標(biāo)即可;
(3)設(shè)點M的坐標(biāo)為(-1,m),可求得AM、AC、CM長,分AC為邊或AC為對角線兩種情況由勾股定理可得m值,易知點M坐標(biāo),由全等三角形的性質(zhì)確定N點坐標(biāo)即可.
解:(1)把點A的坐標(biāo)為(-3,0),點B的坐標(biāo)為(1,0)代入y=ax2-x+c得,
解得:,
∴該拋物線的解析式為y=-x2-x+4;
(2)∵點P為拋物線上一點,
∴設(shè)P(m,-m2-m+4),作PH⊥x軸于H,
∴PH∥OC,
∴△QCO∽△QPH,
∴==,
∴=±,
解得:m1=-,m2=-,m3=,m4=,
∴P點坐標(biāo)(-,5)或(-,5)或(,-5)或(,-5);
(3)∵拋物線y=-x2-x+4的對稱軸為x=-1,
設(shè)點M的坐標(biāo)為(-1,m),
∵點A的坐標(biāo)為(-3,0),點C的坐標(biāo)為(0,4),
∴AM==,AC==5,CM==,
分AC為邊或AC為對角線兩種情況考慮:
①當(dāng)AC為邊時,有AC2+AM2=CM2或AC2+CM2=AM2,即25+m2+4=m2-8m+17或25+m2-8m+17=m2+4,
解得:m1=-或m2=,
∴點M的坐標(biāo)為(-1,-)或(-1,);
如圖2,分別過M或N作y軸或x軸的垂線,
由全等三角形的性質(zhì)得,N點的坐標(biāo)為:(2,)或(-4,);
②當(dāng)AC為對角線時,有AM2+CM2=AC2,即m2+4+m2-8m+17=25,
解得:m3=2+,m4=2-,
∴點M的坐標(biāo)為(-1,2+)或(-1,2-).
如圖3,分別過M或N作y軸或x軸的垂線,
由全等三角形的性質(zhì)得,N點的坐標(biāo)為(-2,2-)或(-2,2+)
綜上所述:存在以A、C、M、N為頂點的矩形,點N的坐標(biāo)為:(2,)或(-4,)或(-2,2-)或(-2,2+).
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【題目】△ABC的三邊長分別為a、b、c,下列條件:①∠B=∠C-∠A; ②a2=(b+c)(b-c);③∠A:∠B:∠C=3:4:5;④a:b:c=5:12:13, 其中能判斷△ABC是直角三角形的個數(shù)有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】已知:拋物線 y=ax2+bx+1 經(jīng)過 A(1,0)、B(-1,3)兩點.
(1)求 a,b 的值;
(2)以線段 AB 為邊作正方形 ABB′A′,能否將已知拋物線平移,使其經(jīng)過 A′、B′兩點?若能,求出平移后經(jīng)過 A′、B′兩點的拋物線的解析式;若不能,請說明理由.
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【題目】如圖,把正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′B′CD′(此時,點B′落在對角線AC上,點A′落在CD的延長線上),A′B′交AD于點E,連接AA′、CE.
求證:(1)△ADA′≌△CDE;
(2)直線CE是線段AA′的垂直平分線.
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【題目】某超市預(yù)測某飲料有發(fā)展前途,用1600元購進一批飲料,面市后果然供不應(yīng)求,又用6000元購進這批飲料,第二批飲料的數(shù)量是第一批的3倍,但單價比第一批貴2元.
(1)第一批飲料進貨單價多少元?
(2)若二次購進飲料按同一價格銷售,兩批全部售完后,獲利不少于1200元,那么銷售單價至少為多少元?
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【題目】為了適合不同人群的需求,某公司對每日堅果混合裝進行改革.甲種每袋裝有10克核桃仁,10克巴旦木仁,10克黑加侖;乙種每袋裝有20克核桃仁,5克巴旦木仁,5克黑加侖.甲乙兩種袋裝干果每袋成本價分別為袋中核桃仁、巴旦木仁、黑加侖的成本價之和.已知核桃仁每克成本價0.04元,甲每袋堅果的售價為5.2元,利潤率為,乙種堅果每袋利潤率為,若這兩種袋裝的銷售利潤率達到,則該公司銷售甲、乙兩種袋裝堅果的數(shù)最之比是____.
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【題目】甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā),相向而行,勻速前往B地、A地,兩人相遇時停留了4min,又各自按原速前往目的地,甲、乙兩人之間的距離y(m)與甲所用時間x(min) 之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.有下列說法: ①A、B之間的距離為1200m;②甲行走的速度是乙的1.5倍;③;④.以上結(jié)論正確的有( )
A.①④B.①②③C.①③④D.①②④
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【題目】定義:只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形,連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑.如圖1,∠ABC=∠ADC=90°,四邊形ABCD是損矩形,則該損矩形的直徑是線段AC.同時我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個三角形角的特點:在公共邊的同側(cè)的兩個角是相等的.如圖1中:△ABC和△ABD有公共邊AB,在AB同側(cè)有∠ADB和∠ACB,此時∠ADB=∠ACB;再比如△ABC和△BCD有公共邊BC,在CB同側(cè)有∠BAC和∠BDC,此時∠BAC=∠BDC.
(1)請在圖1中再找出一對這樣的角來: = .
(2)如圖2,△ABC中,∠ABC=90°,以AC為一邊向外作菱形ACEF,D為菱形ACEF對角線的交點,連接BD,當(dāng)BD平分∠ABC時,判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形?請說明理由.
(3)在第(2)題的條件下,若此時AB=6,BD=8,求BC的長.
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