Question

已知拋物線y=x²+kx+k-1．
（1）求證：無(wú)論k是什么實(shí)數(shù)，拋物線與x軸相交于一定點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A（x_A，0），B（x_B，0）兩點(diǎn)，且滿足x_A＜x_B＜0，S_△ABC=6，求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，y軸負(fù)半軸上是否存在一點(diǎn)D，使得以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫出△ACD的外接圓半徑R的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)閽佄锞�與x軸相交于一定點(diǎn)，令x²+kx+k-1=0，解方程兩根有一常數(shù)，問(wèn)題得證；
（2）由x_A＜x_B＜0，得1-k＜0，分兩種情況：
①若-1＜1-k，則k＜2，求得1＜k＜2，表示出AB、OC，代入S_△ABC=6解答求k；
②若1-k＜-1，則k＞2，表示出AB、OC，代入S_△ABC=6解答求k；
（3）由y=x²+5x+4求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得AB、AC，由△CAD∽△ABC，求出CD，得出OD，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由△ACD的三邊求出外接圓半徑R．
解答：（1）證明：令y=0，有x²+kx+k-1=0，
解得x₁=-1，x₂=1-k，
∴拋物線與x軸相交于一定點(diǎn)為（-1，0），

（2）解：∵x_A＜x_B＜0，
∴1-k＜0，即k＞1，
①若-1＜1-k，則k＜2，
∴1＜k＜2，這時(shí)x_A=-1，x_B=1-k，
∴AB=x_B-x_A=1-k-（-1）=2-k，且OC=k-1，
∴S_△ABC=，
整理，得k²-3k+14=0，
∵b²-4ac=（-3）²-4×14＜0，
∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，即-1＜1-k不成立；
②若1-k＜-1，則k＞2，
∴這時(shí)x_A=1-k，x_B=-1，
∴AB=x_B-x_A=-1-（1-k）=k-2，且OC=k-1，
∴S_△ABC=，
整理，得（k-5）（k+2）=0，
∴k₁=5，k₂=-2（不合，舍去），
∴所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²+5x+4．

（3）解：如圖，存在一點(diǎn)D，使得以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
由（2）知，A（-4，0），B（-1，0），C（0，4），
∴AB=3，OC=4，AC=，
由于∠CAO=∠OCA=45°，
所以只有△CAD∽△ABC，
于是有，
∴，
OD=CD-OC=，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），
∴R=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，滲透分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想．