【題目】已知四邊形ABCD中,EF分別是AB、AD邊上的點,DECF交于點G.

(1)如圖1,若四邊形ABCD是正方形,且DECF,求證:DE=CF;

(2)如圖2,若四邊形ABCD是矩形,且DECF,求證:

(3)如圖3,若四邊形ABCD是平行四邊形,當(dāng)∠B=EGF時,第(2)問的結(jié)論是否成立?若成立給予證明;若不成立,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)當(dāng)∠B=EGF時,成立,證明見解析.

【解析】

(1)由四邊形ABCD為正方形,利用正方形的性質(zhì)得到一對角為直角,相等,且AD=DC,利用同角的余角相等得到一對角相等,利用AAS得到三角形ADE與三角形DCF全等,利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證;

(2)由四邊形ABCD為矩形,得到一對直角相等,利用同角的余角相等得到一對角相等,利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ADE與三角形DCF相似,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得證;

(3)當(dāng)∠B=∠EGF時,成立,理由為:如圖3,在AD的延長線上取點M,使CM=CF,利用平行線的性質(zhì),以及同角的補角相等得到三角形ADE與三角形DCM相似,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得證.

(1)∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠A=ADC=90°,AD=DC,

∴∠ADE+AED=90°,

DECF,

∴∠ADE+CFD=90°,

∴∠AED=CFD,

∴△ADE≌△DCF,

DE=CF

(2)∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠A=ADC=90°,

DECF,

∴∠ADE+CFD=90°,DCF+CFD=90°,

∴∠ADE=DCF,

∴△ADE∽△DCF,

(3)解:當(dāng)∠B=EGF時, 成立,

證明:如圖3,在AD的延長線上取點M,使CM=CF,

則∠CMF=CFM,

ABCD,

∴∠A=CDM,

ADBC,

∴∠B+A=180°,

∵∠B=EGF,

∴∠EGF+A=180°,

∴∠AED=CFM=CMF,

∴△ADE∽△DCM,

,即 .

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【題目】閱讀下面材料:

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小敏在思考問題,有如下思路:連接AC.

結(jié)合小敏的思路作答

(1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2),則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎?說明理由,參考小敏思考問題方法解決一下問題

(2)如圖2,在(1)的條件下,若連接AC,BD.

①當(dāng)AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是菱形,寫出結(jié)論并證明;

②當(dāng)AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是矩形,直接寫出結(jié)論.

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