Question

（2013•天橋區(qū)二模）如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若點(diǎn)E為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鲯佄锞�(xiàn)上是否存在點(diǎn)F，使以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P為線(xiàn)段OC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，過(guò)點(diǎn)C作CN垂直于直線(xiàn)BP，垂足為N，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式，可得出a、b的值，繼而得出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）分兩種情況討論，①E、F在AB同側(cè)，此時(shí)EF為平行四邊形的邊，②E、F在AB異側(cè)，此時(shí)EF為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）連接BC，可得點(diǎn)N的路徑是以BC的中點(diǎn)M為圓心，BC長(zhǎng)的一半為半徑的

OC

，求出

OC

的長(zhǎng)度即可．

解答：解：（1）將A（1，0）（3，0）代入y=ax²+bx+3得：

0=a+b+3 0=9a+3b+3

，
解得：

a=1 b=-4

，
∴y=x²-4x+3．

（2）①設(shè)F（x，x²-4x+3），若E，F(xiàn)在AB的同側(cè)，則EF=AB=2，
∵點(diǎn)E在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，
∴|x-2|=2，
∴x=0或x=4，
∴F₁（0，3），F(xiàn)₂（4，3）．
②若E，F(xiàn)在AB異側(cè)，則F與拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)重合，即F₃（2，-1），
∴存在點(diǎn)F₁（0，3），F(xiàn)₂（4，3），F(xiàn)₃（2，-1），使以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

（3）連接BC，
∵∠BNC=90°，
∴點(diǎn)N的路徑是以BC的中點(diǎn)M為圓心，BC長(zhǎng)的一半為半徑的

OC

，
連接OM，
∵OB=OC=3，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC=90°，
∵BC=

OB2+OC2

=3

2

，
∴OM=

3 2

2

∴l

oc

=

90π

180

•

3 2

2

=

3 2

4

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，難點(diǎn)在第三問(wèn)，連接BC，根據(jù)∠BNC=90°，判斷出點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵，此類(lèi)題目常以壓軸題出現(xiàn)，同學(xué)們要注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力．