【題目】在四邊形ABCD中,對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)O,將△COD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1OD1,旋轉(zhuǎn)角為θ0°<θ90°),連接AC1、BD1,AC1BD1交于點(diǎn)P

1)如圖1,若四邊形ABCD是正方形.

求證:△AOC1≌△BOD1

請(qǐng)直接寫出AC1 BD1的位置關(guān)系.

2)如圖2,若四邊形ABCD是菱形,AC5,BD7,設(shè)AC1kBD1.判斷AC1BD1的位置關(guān)系,說明理由,并求出k的值.

3)如圖3,若四邊形ABCD是平行四邊形,AC5BD10,連接DD1,設(shè)AC1kBD1.請(qǐng)直接寫出k的值和AC12+kDD12的值.

【答案】1詳見解析;AC1BD1;(2AC1BD1,理由詳見解析,k;(3k, AC12+kDD1225

【解析】

1如圖1,根據(jù)正方形的性質(zhì)得OCOAODOB,ACBD,則∠AOB=∠COD90°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OC1OCOD1OD,∠COC1=∠DOD1,則OC1OD1,利用等角的補(bǔ)角相等得∠AOC1=∠BOD1,然后根據(jù)“SAS”可證明△AOC1≌△BOD1;

由∠AOB90°,則∠OAB+ABP+OBD190°,所以∠OAB+ABP+OAC190°,則∠APB90°所以AC1BD1;

2)如圖2,根據(jù)菱形的性質(zhì)得OCOAAC,ODOBBD,ACBD,則∠AOB=∠COD90°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OC1OC,OD1OD,∠COC1=∠DOD1,則OC1OA,OD1OB,利用等角的補(bǔ)角相等得∠AOC1=∠BOD1,加上,根據(jù)相似三角形的判定方法得到△AOC1∽△BOD1,得到∠OAC1=∠OBD1,由∠AOB90°得∠OAB+ABP+OBD190°,則∠OAB+ABP+OAC190°,則∠APB90°,所以AC1BD1;然后根據(jù)相似比得到,所以k

3)與(2)一樣可證明△AOC1∽△BOD1,則,所以k;根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OD1OD,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得ODOB,則OD1OBOD,于是可判斷△BDD1為直角三角形,根據(jù)勾股定理得BD12+DD12BD2100,所以(2AC12+DD12100,于是有AC12+kDD1225

1證明:如圖1,

∵四邊形ABCD是正方形,

OCOAODOB,ACBD,

∴∠AOB=∠COD90°,

∵△COD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1OD1,

OC1OC,OD1OD,∠COC1=∠DOD1

OC1OD1,∠AOC1=∠BOD190°+AOD1,

在△AOC1和△BOD1

,

∴△AOC1≌△BOD1SAS);

AC1BD1;

∵∠AOB90°,

∴∠OAB+ABP+OBD190°,

∴∠OAB+ABP+OAC190°,則∠APB90°

AC1BD1;

2AC1BD1

理由如下:如圖2,

∵四邊形ABCD是菱形,

OCOAAC,ODOBBD,ACBD

∴∠AOB=∠COD90°,

∵△COD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1OD1,

OC1OCOD1OD,∠COC1=∠DOD1,

OC1OA,OD1OB,∠AOC1=∠BOD1,

,

∴△AOC1∽△BOD1,

∴∠OAC1=∠OBD1

又∵∠AOB90°,

∴∠OAB+ABP+OBD190°,

∴∠OAB+ABP+OAC190°,

∴∠APB90°

AC1BD1

∵△AOC1∽△BOD1,

k;

3)如圖3,與(2)一樣可證明△AOC1∽△BOD1

,

k;

∵△COD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1OD1

OD1OD,

ODOB,

OD1OBOD,

∴△BDD1為直角三角形,

RtBDD1中,

BD12+DD12BD2100,

∴(2AC12+DD12100,

AC12+kDD1225

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