Question

【題目】如圖：三角形ABC內(nèi)接于圓O，∠BAC與∠ABC的角平分線AE，BE相交于點E，延長AE交外接圓O于點D，連接BD，DC，且∠BCA=60°

（1）求∠BED的大小；
（2）證明：△BED為等邊三角形；
（3）若∠ADC=30°，圓O的半徑為r，求等邊三角形BED的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠BCA=60°，

∴∠BAC+∠ABC=180°-∠BCA=180°-60°=120°，

∵∠BAC與∠ABC的角平分線AE，BE相交于點E，

∴∠ABE+∠BAE= （∠BAC+∠ABC）= ×120°=60°，

∴∠BED=∠ABE+∠BAE=60°

（2）證明：∵∠BCA=60°，

∴∠ADB=∠BCA=60°，

∴∠DBE=180°-∠BED-∠ADB=180°-60°-60°=60°，

∴△BED為等邊三角形

（3）解：∵∠ADC=30°，∠ADB=60°，

∴∠BDC=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，

∴BC是⊙O的直徑，

∵∠BCA=60°，

∴∠ABC=90°-60°=30°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=15°，

∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=60°-15°=45°，

∴BD=BCcos45°=2r× = r．

即等邊△BED的邊長為 r

【解析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，求出∠BED的值；（2）根據(jù)圓周角定理和三角形內(nèi)角和定理得到△BED為等邊三角形；（3）根據(jù)圓周角定理，得到BC是⊙O的直徑，根據(jù)角平分線定義求出∠CBE的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)求出等邊△BED的邊長.
【考點精析】掌握圓周角定理是解答本題的根本，需要知道頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．