【題目】如圖1,直線l:y=x+與x軸負半軸、y軸正半軸分別相交于A、C兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點B(1,0)和點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點Q是拋物線y=﹣x2+bx+c在第二象限內(nèi)的一個動點.
①如圖1,連接AQ、CQ,設點Q的橫坐標為t,△AQC的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
②連接BQ交AC于點D,連接BC,以BD為直徑作⊙I,分別交BC、AB于點E、F,連接EF,求線段EF的最小值,并直接寫出此時點Q的坐標.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+;(2)①S=﹣t2﹣t(﹣3<t<0),;②EF=,點Q的坐標為(﹣3,4﹣).
【解析】
試題(1)根據(jù)直線的解析式得到點把點B(1,0)與點代入于是得到結(jié)論;
(2)①連接OQ,在直線中,令y=0,則得到點根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論;
②解直角三角形得到作直徑ET交⊙I于點T,連接FT,則
得到當BD⊥AC時,此時直徑BD最小,即直徑ET最小,EF的值最小,推出在Rt△ADB中,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.
試題解析:(1)在直線中,令x=0,則
∴點
把點B(1,0)與點代入得:
解得:
∴拋物線的解析式為:
(2)①連接OQ,在直線中,令y=0,則
∴點
即
∴當時,S最大值
②∵點B(1,0),
在Rt△BOC中,
作直徑ET交⊙I于點T,連接FT,則
又
當BD⊥AC時,此時直徑BD最小,即直徑ET最小,EF的值最小,
在Rt△AOC中,
在Rt△ADB中,
此時點Q的坐標為
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【題目】某建筑公司甲、乙兩個工程隊共同參與一項改造工程.已知甲隊單獨完成這項工程的時間是乙隊單獨完成這項工程時間的1.5倍,由于乙隊還有其他任務,先由甲隊單獨做45天后,再由甲、乙兩隊合做30天,完成了該項改造工程任務.
(1)求甲、乙兩隊單獨完成改造工程任務各需多少天;
(2)這項改造工程共投資240萬元,如果按完成的工程量付款,那么甲、乙兩隊可獲工程款各多少萬元?
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【題目】已知:Rt△ABC的斜邊長為5,斜邊上的高為2,將這個直角三角形放置在平面直角坐標系中,使其斜邊AB與x軸重合(其中OA<OB),直角頂點C落在y軸正半軸上(如圖1).
(1)求線段OA、OB的長和經(jīng)過點A、B、C的拋物線的關(guān)系式.
(2)如圖2,點D的坐標為(2,0),點P(m,n)是該拋物線上的一個動點(其中m>0,n>0),連接DP交BC于點E.
①當△BDE是等腰三角形時,直接寫出此時點E的坐標.
②又連接CD、CP(如圖3),△CDP是否有最大面積?若有,求出△CDP的最大面積和此時點P的坐標;若沒有,請說明理由.
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【題目】如圖,四邊形中,,,、分別是線段、上的動點.
(1)能否在線段上作出點E,在線段上作出點,使的周長最?______(用“能”或“不能”填空);
(2)如果能,請你在圖中作出滿足條件的點、(不要求寫出作法),并直接寫出的度數(shù);如果不能,請說明理由.
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【題目】如圖,已知拋物線的對稱軸為直線,且拋物線與軸交于、兩點,與軸交于點,其中,.
(1)若直線經(jīng)過、兩點,求直線和拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上找一點,使點到點的距離與到點的距離之和最小,求出點的坐標;
(3)設點為拋物線的對稱軸上的一個動點,求使為直角三角形的點的坐標.
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【題目】如圖,在中,,.點是射線上一點,點是線段上一點,且點與點關(guān)于直線對稱,連接,過點作直線,垂足為點,交的延長線于點.
(1)根據(jù)題意完成作圖;
(2)請你寫出與之間的數(shù)量關(guān)系,并進行證明;
(3)寫出線段,之間的數(shù)量關(guān)系,并進行證明.
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【題目】某校在八年級開展環(huán)保知識問卷調(diào)查活動,問卷一共10道題,八年級(三)班的問卷得分情況統(tǒng)計圖如下圖所示:
(1)扇形統(tǒng)計圖中,______________;
(2)根據(jù)以上統(tǒng)計圖中的信息,
①問卷得分的極差是_____________分;②問卷得分的眾數(shù)是____________分;③問卷得分的中位數(shù)是______________分;
(3)請你求出該班同學的平均分.
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【題目】為了慶祝改革開放40周年,展開改革開放的輝煌成就,某中學舉辦師生詩詞創(chuàng)作大賽,從參賽作品中選出20篇優(yōu)秀作品,原計劃一等獎3篇,二等獎5篇,三等獎12篇,后經(jīng)校長會研究決定,在該項獎勵總獎金不變的情況下,各等級獲獎篇數(shù)實際調(diào)整為:一等獎4篇,二等獎6篇,三等獎10篇,調(diào)整后一等獎每篇獎金降低10元,二等獎每篇獎金降低20元,三等獎每篇獎金降低30元,調(diào)整前一等獎金每篇獎金比三等獎每篇獎金多320元,則調(diào)整后一等獎每篇比二等獎每篇獎金多___________元。
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【題目】射擊隊為從甲、乙兩名運動員中選拔一人參加比賽,對他們進行了六次測試,測試成績?nèi)缦卤恚▎挝唬涵h(huán)):
(1)完成表中填空① ;② ;
(2)請計算甲六次測試成績的方差;
(3)若乙六次測試成績方差為,你認為推薦誰參加比賽更合適,請說明理由.
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