(2013•工業(yè)園區(qū)模擬)如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=8.BC=11,AB=3
3
,等邊△PQR的邊長為2,邊PQ與BC重合.將等邊△PQR以每秒1個(gè)單位長的速度沿BC方向勻速移動(dòng),移動(dòng)開始前點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,在移動(dòng)過程中,邊PQ始終與邊BC重合;連結(jié)AP、AR、DQ、DR,設(shè)移動(dòng)的時(shí)間是t秒(0≤t≤9).請你探究以下問題:

(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)P、R、D在一直線上?
(2)當(dāng)t為何值時(shí),AR與DR垂直?
(3)直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)△APR的面積與△DQR的面積相等.
分析:(1)D作DE⊥BC于E,得出四邊形ABED是矩形,求出AD=BE=8,AB=DE=3
3
,EC=3,在Rt△DEC中,由勾股定理求出DC=6,得出△DPC是等邊三角形,求出CP=CD=6,即可求出答案;
(2)過R作HG⊥AD,交AD于H,交BC于G,求出RG=
3
,證△AHR∽△RHD,得出RH2=AH×DH,求出HG=AB=3
3
,BG=AH=t+1,DH=7-t,RH=2
3
,代入得出方程,求出方程的解即可;
(3)當(dāng)t=3時(shí),△APR的面積與△DQR的面積相等,證出△APR≌△DQR,即可得出答案.
解答:解:(1)如圖1,過D作DE⊥BC于E,
∵∠B=90°,
∴∠DEC=∠B,
∴AB∥DE,
∵AD∥BC,
∴四邊形ABED是矩形,
∴AD=BE=8,AB=DE=3
3
,
∴EC=11-8=3,
在Rt△DEC中,由勾股定理得:DC=6,
∴∠C=60°,
當(dāng)P、R、D在一條直線上時(shí),
∵△RPQ是等邊三角形,
∴∠DPC=60°=∠C,
∴△DPC是等邊三角形,
∴CP=CD=6,
∴BP=11-6=5,
∴當(dāng)t=5時(shí),點(diǎn)P、R、D在一條直線上;

(2)如圖2,過R作HG⊥AD,交AD于H,交BC于G,
則HG⊥PQ,
∵△PRQ是等邊三角形,
∴RP=RQ,
∴PG=GQ=1,由勾股定理得:RG=
3
,
∵AR⊥DR,RH⊥AD,
∴∠ARD=∠AHR=∠DHR=90°,
∴∠HAR+∠ARH=90°,∠ARH+∠DRH=90°,
∴∠HAR=∠DRH,
∵∠AHR=∠DHR,
∴△AHR∽△RHD,
RH
DH
=
AH
RH

∴RH2=AH×DH,
∵∠B=90°,HG⊥BC,
∴AB∥HG,
∵AD∥BC,
∴四邊形ABGH是矩形,
∴HG=AB=3
3
,BG=AH=t+1,DH=8-(t+1)=7-t,RH=3
3
-
3
=2
3
,
∴(2
3
2=(t+1)(7-t),
t=1,t=5,
即當(dāng)t=1或5時(shí),AR和DR垂直;

(3)當(dāng)t=3時(shí),△APR的面積與△DQR的面積相等,
理由是:如圖3,
∵∠B=90°,AB=3
3
,BP=3×1=3,
∴由勾股定理得:AP=6,∠APB=60°,
∵BP=3,PQ=2,BC=11,CD=6,
∴CQ=11-3-2=6=CD,
∵∠C=60°,
∴△CDQ是等邊三角形,
∴DQ=CD=6,∠DQC=60°,
∴AP=QD,
∵△RPQ是等邊三角形,
∴RP=RQ=2,∠RPQ=∠RQP=60°,
∴∠RPB=∠PQC=120°,
∴∠APR=∠DQR=120°-60°=60°,
∵在△APR和△DQR中
AP=DQ
∠APR=∠DQR
PR=QR

∴△APR≌△DQR(SAS),
∴S△APR=S△DQR
即當(dāng)t=3時(shí),△APR的面積與△DQR的面積相等.
點(diǎn)評:本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理,平行四邊形性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力.
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30,30
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AE
的長度是
28π
9
28π
9
cm.(結(jié)果保留π).

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3
x
與y=x-2的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),則
1
a
-
1
b
的值為
-
2
3
-
2
3

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96
25
96
25

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1
2
x2+bx+c
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9
2
,1),AF=
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①求此拋物線的解析式;
②點(diǎn)P是此拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在此拋物線的對稱軸上,以點(diǎn)A、F、P、Q為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形,請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);
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