Question

（2013•工業(yè)園區(qū)二模）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，CD⊥AB且CD=AB．直線BE與y軸平行，點(diǎn)F是射線BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、AF、DF．
（1）若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

9

2

，1），AF=

17

．
①求此拋物線的解析式；
②點(diǎn)P是此拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，以點(diǎn)A、F、P、Q為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）若2b+c=-2，b=-2-t，且AB的長(zhǎng)為kt，其中t＞0．如圖2，當(dāng)∠DAF=45°時(shí)，求k的值和∠DFA的正切值．

Answer 1

分析：（1）①在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)，則A的坐標(biāo)可以求得，然后代入二次函數(shù)的解析式，即可求得函數(shù)的解析式；
②分四邊形AFPQ、AFQP，AQFP、AQPF四種情況進(jìn)行討論，當(dāng)AF時(shí)對(duì)角線時(shí)，P一定是頂點(diǎn)，根據(jù)對(duì)角線互相平分即可求得Q的坐標(biāo)；當(dāng)AF時(shí)平行四邊形的一邊時(shí)，P到對(duì)稱(chēng)軸的距離一定等于AB，即可求得Q的橫坐標(biāo)，則過(guò)P作PM⊥對(duì)稱(chēng)軸于M，則BF=DM，據(jù)此即可求得Q的坐標(biāo)．
（2）首先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2t+2，0），再根據(jù)AB的長(zhǎng)即可求得k的值，過(guò)點(diǎn)D作DG∥x軸交BE于點(diǎn)G，則易證四邊形ABGH是矩形，同理四邊形CBGD是矩形，在Rt△DGF中，DF²=DG²+GF²，據(jù)此即可得到一個(gè)關(guān)于t的方程，解方程即可求得BF的長(zhǎng)，利用三角函數(shù)的定義即可求解．

解答：解：（1）①∵直線BE與y軸平行，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

9

2

，1），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

9

2

，0），∠FBA=90°，BF=1．
在Rt△EFM中，AF=

17

，
∴AB=

AF2-FB2

=

17-1

=4．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

1

2

，0）．
∴拋物線的解析式為y=

1

2

(x-

1

2

)(x-

9

2

)=

1

2

x2-

5

2

x+

9

8

．

②第一：以AF為對(duì)角線，拋物線頂點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)．
第二：以AF為其中一條邊分別向左和向右做平行四邊形．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q₁（

5

2

，3），Q₂（

5

2

，5），Q₃（

5

2

，7）．

（2）∵2b+c=-2，b=-2-t，
∴c=2t+2．
∴y=

1

2

x2-(2+t)x+2t+2．
由 

1

2

x2-(2+t)x+2t+2=0，（x-2）（x-2t-2）=0．
解得 x₁=2，x₂=2t+2．
∵t＞0，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2t+2，0）．
∴AB=2t+2-2=2t，
即 k=2．
過(guò)點(diǎn)D作DG∥x軸交BE于點(diǎn)G，
AH∥BE交直線DG于點(diǎn)H，延長(zhǎng)
DH至點(diǎn)M，使HM=BF．（如圖）
∵DG∥x軸，AH∥BE，
∴四邊形ABGH是平行四邊形．
∵∠ABF=90°，
∴四邊形ABGH是矩形．
同理四邊形CBGD是矩形．
∴AH=GB=CD=AB=GH=2t．
∵∠HAB=90°，∠DAF=45°，
∴∠1+∠2=45°．
∵在△AFB和△AMH中，

AB=AH ∠ABF=∠AHM=90° BF=HM

∴△AFB≌△AMH（SAS）．
∴∠1=∠3，AF=AM，∠4=∠M．
∴∠3+∠2=45°．
∵在△AFD和△AMD中，

AF=AM ∠FAD=∠MAD AD=AD

，
∴△AFD≌△AMD（SAS）．
∴∠DFA=∠M，F(xiàn)D=MD．
∴∠DFA=∠4．
∵C是AB的中點(diǎn)，
∴DG=CB=HD=t．
設(shè)BF=x，則GF=2t-x，F(xiàn)D=MD=t+x．
在Rt△DGF中，DF²=DG²+GF²，
∴（t+x）²=t²+（2t-x）²，
解得 x=

2t

3

．
∴tan∠DFA=tan∠4=

AB

FB

=2t÷

2t

3

=3．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，本題是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，矩形的判定，三角形的全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，難度較大．