Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P是線段AC上的一個(gè)動點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長度的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，解x²-2x-3=0，可得AB的坐標(biāo)；將C的橫坐標(biāo)代入，易得其縱坐標(biāo)，結(jié)合A的坐標(biāo)，可得BC的方程；
（2）設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示出P、E的坐標(biāo)，可得PE長度的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)x的取值范圍可得線段PE長度的最大值．
解答：解：（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，
∴A（-1，0）B（3，0）；
將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x²-2x-3
得y=-3，
∴C（2，-3），
設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，
把A（-1，0），C（2，-3）代入得：，
解得：k=-1，b=-1，
∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1；

（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2）（注：x的范圍不寫不扣分）
則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3）
∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-）²+，
∴當(dāng)時(shí)，PE的最大值=．
點(diǎn)評：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力．