Question

已知一次函數(shù)y₁＝2x，二次函數(shù)y₂＝x²＋1．

(Ⅰ)根據(jù)表中給出的x的值，計算對應(yīng)的函數(shù)值y₁，y₂，并填在表格中：

(Ⅱ)觀察第(Ⅰ)問表中有關(guān)的數(shù)據(jù)，證明如下結(jié)論；在實數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y₁≤y₂均成立；

(Ⅲ)試問，是否存在二次函數(shù)y₃＝ax²＋bx＋c，其圖象經(jīng)過點(－5，2)，且在實數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y₁≤y₃≤y₂均成立，若存在，求出函數(shù)y₃的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)填表如下： 　　(Ⅱ)證明：∵y1－y2＝2x－(x2＋1) 　�。剑瓁2＋2x－1 　�。剑�(x－1)2≤0 　　∴當(dāng)自變量x取任意實數(shù)時，y1≤y2均成立． 　　(Ⅲ)解：由已知，二次函數(shù)y3＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(－5，2)，得 　　25a－5b＋c＝0．　　�、� 　　∵當(dāng)x＝1時，y1＝y(tǒng)2＝2，y3＝a＋b＋c， 　　若對于自變量x取任意實數(shù)時，y1≤y3≤y2成立，則有2≤a＋b＋c≤2， 　　∴a＋b＋c＝2．　　　�、� 　　由①②，得b＝4a，c＝2－5a， 　　∴y3＝ax2＋4ax＋(2－5a)． 　　當(dāng)y1≤y3時，有 　　2x≤ax2＋4ax＋(2－5a)， 　　即ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)≥0， 　　若二次函數(shù)y＝ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)對于一切實數(shù)x，函數(shù)值大于或等于零，必須 　　思路點撥：(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系通過計算，得出結(jié)果，直接填表． 　　(Ⅱ)只須證明對于任意的x∈R，y1≤y2恒成立即可． 　　(Ⅲ)由y1≤y3≤y2及(Ⅰ)表知y1，y2，y3均須通過點(1，2)． 　　這樣y3的圖象通過兩點(1，2)及(－5，2)，從而可得出兩個關(guān)于a、b、c的關(guān)系式．于是b、c均可用a的代數(shù)式表示出來．再由不等式組y1≤y3≤y2確定a的值，從而可使問題獲解． 　　評注：問題(Ⅲ)是利用已知條件和隱含條件求二次函數(shù)解析式問題，隱含條件y1，y2，y3均通過點(1，2)的挖掘是解決問題的關(guān)鍵．事實上，如果將y1＝2x及y2＝x2＋1的圖象畫出，y1與y2必須有一個公共點(1，2)，而滿足y1≤y3≤y3應(yīng)也必通過這一點，從而可使問題的獲解心中有數(shù)(如下圖)．