Question

已知：如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD和BC相交于點E，EF⊥BD，垂足為F，我們可以證明

1

AB

+

1

CD

=

1

EF

成立（不要求考生證明）．
若將圖中的垂線改為斜交，如圖，AB∥CD，AD，BC相交于點E，過點E作EF∥AB交BD于點F，則：
（1）

1

AB

+

1

CD

=

1

EF

還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；
（2）請找出S_△ABD，S_△BED和S_△BDC間的關系式，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）由題意知，兩直線平行是很關鍵的條件，要根據三角形平行線分線段成比例，找出關系，然后相加就得到結果；
（2）要用到第一問的結論，作出各個三角形的高，再把各面積用邊表示出來，即可找到關系．

解答：（1）成立．
證明：∵AB∥EF
∴

EF

AB

=

DF

DB

∵CD∥EF
∴

EF

CD

=

BF

DB

∴

EF

AB

+

EF

CD

=

DF

DB

+

BF

DB

=

DB

DB

=1
∴

1

AB

+

1

CD

=

1

EF

；

（2）關系式為：

1

S△ABD

+

1

S△BDC

=

1

S△BED

證明如下：分別過A作AM⊥BD于M，過E作EN⊥BD于N，過C作CK⊥BD交BD的延長線于K
由題設可得：

1

AM

+

1

CK

=

1

EN

∴

2

BD•AM

+

2

BD•CK

=

2

BD•EN

即

1

1 2 •BD•AM

+

1

1 2 •BD•CK

=

1

1 2 BD•EN

又∵

1

2

•BD•AM=S_△ABD，

1

2

•BD•CK=S_△BCD
∴

1

2

•BD•EN=S_△BED
∴

1

S△ABD

+

1

S△BDC

=

1

S△BED

．

點評：此題考查平行線分線段成比例定理的運用．