Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與稱為一對泛對稱點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)，是一對泛對稱點(diǎn)，求的值；

（2）若，是第一象限的一對泛對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，線段，交于點(diǎn)，連接，，判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）拋物線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交此拋物線于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)的直線與此拋物線交于另一點(diǎn)．對于任意滿足條件的實數(shù)，是否都存在，是一對泛對稱點(diǎn)的情形？若是，請說明理由，并對所有的泛對稱點(diǎn)，探究當(dāng)＞時的取值范圍；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AB∥PQ，見解析；（3）對于任意滿足條件的實數(shù)b，都存在M，N是一對泛對稱點(diǎn)的情形，此時對于所有的泛對稱點(diǎn)M(xM，yM)，N(xN，yN)，當(dāng)yM＞yN時，xM的取值范圍是xM＜1且xM≠0

【解析】

（1）利用泛對稱點(diǎn)得定義求出t的值，即可求出a.

（2）設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P（p,tq），Q（q,tp），根據(jù)題干條件得到A（p,0），B（0,tp），C（p,tp）的坐標(biāo)，利用二元一次方程組證出k1=k2，所以AB∥PQ.

（3）由二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的特征，得到D點(diǎn)的坐標(biāo)；然后利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，使用求根公式即可得到答案.

（1）解：因為點(diǎn)（1，2），（3，a）是一對泛對稱點(diǎn)，

設(shè)3t＝2

解得t＝

所以a＝t×1＝

（2）解：設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P（p,tq），Q（q,tp），其中0＜p＜q，t＞0.

因為PA⊥x軸于點(diǎn)A，QB⊥y軸于點(diǎn)B，線段PA，QB交于點(diǎn)C，

所以點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為：A（p,0），B（0,tp），C（p,tp）

設(shè)直線AB，PQ的解析式分別為：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，其中k1k2≠0.

分別將點(diǎn)A（p,0），B（0,tp）代入y＝k1x＋b1，得

. 解得

分別將點(diǎn)P（p,tq），Q（q,tp）代入y＝k2x＋b2，得

. 解得

所以k1＝k2.

所以AB∥PQ

（3）解：因為拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＜0）交y軸于點(diǎn)D，

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,c）.

因為DM∥x軸，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xM,c），又因為點(diǎn)M在拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＜0）上.

可得axM 2＋bxM＋c＝c，即xM（axM＋b）＝0.

解得xM＝0或xM＝－.

因為點(diǎn)M不與點(diǎn)D重合，即xM≠0，也即b≠0，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（－,c）

因為直線y＝ax＋m經(jīng)過點(diǎn)M，

將點(diǎn)M（－,c）代入直線y＝ax＋m可得，a·（－）＋m＝c.

化簡得m＝b＋c

所以直線解析式為：y＝ax＋b＋c.

因為拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝ax＋b＋c交于另一點(diǎn)N，

由ax2＋bx＋c＝ax＋b＋c，可得ax2＋（b－a）x－b＝0.

因為△＝（b－a）2＋4ab＝（a＋b）2，

解得x1＝－，x2＝1.

即xM＝－，xN＝1，且－≠1，也即a＋b≠0.

所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1,a＋b＋c）

要使M（－,c）與N（1,a＋b＋c）是一對泛對稱點(diǎn)，

則需c＝t ×1且a＋b＋c＝t ×（－）.

也即a＋b＋c＝（－）·c

也即（a＋b）·a＝－（a＋b）·c.

因為a＋b≠0，

所以當(dāng)a＝－c時，M，N是一對泛對稱點(diǎn).

因此對于任意滿足條件的實數(shù)b，都存在M，N是一對泛對稱點(diǎn)的情形.

此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為（－,－a），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1,b）.

所以M，N兩點(diǎn)都在函數(shù)y＝（b≠0）的圖象上.

因為a＜0，

所以當(dāng)b＞0時，點(diǎn)M，N都在第一象限，此時 y隨x的增大而減小，所以當(dāng)yM＞yN時，0＜xM＜1；

當(dāng)b＜0時，點(diǎn)M在第二象限，點(diǎn)N在第四象限，滿足yM＞yN，此時xM＜0.

綜上，對于任意滿足條件的實數(shù)b，都存在M，N是一對泛對稱點(diǎn)的情形，此時對于所有的泛對稱點(diǎn)M（xM,yM），N（xN,yN），當(dāng)yM＞yN時，xM的取值范圍是xM＜1且/span>xM≠0.