Question

如圖1所示，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，則有∠BAD=30°，BD=CD=

1

2

AB．于是可得出結(jié)論“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”．



請(qǐng)根據(jù)從上面材料中所得到的信息解答下列問(wèn)題：
（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，則BC=______；
（2）如圖2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，垂足為E，當(dāng)BD=5cm，∠B=30°時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)=______．
（3）如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，那么BE：EA=______．
（4）如圖4所示，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于點(diǎn)P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB與PQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，且∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=30，∠C=90°，
∴BC=

1

2

AB=

a

2

．
故填：

a

2

；

（2）如圖2，∵DE是線段BC的垂直平分線，∠ACB=90°，
∴CD=BD，AD=BD．
又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB，
∴△ACD的周長(zhǎng)=AC+AB=3BD=15cm．
故填：15cm；

（3）如圖3，連接AD．
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點(diǎn)，
∴∠BAD=60°．
又∵DE⊥AB，
∴∠B=∠ADE=30°，
∴BE=

1

2

BD，AE=

1

2

AD，
∴BE：EA=BD：AD=tan60°=

3

：1．
故填：

3

：1．

（4）BP=2PQ．理由如下：
∵△ABC為等邊三角形．
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中，

AE=CD ∠BAC=∠ACB AB=AC

，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ為△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．