【題目】如圖,已知拋物線y=-x2+bx+c與一直線相交于A(-1,0),C(2,3)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)N,其頂點(diǎn)為D.
(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)點(diǎn)M(3,m),求使MN+MD的值最小時(shí)m的值;
(3)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B,E為直線AC上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F,以B,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形?若能,求點(diǎn)E的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=-x2+2x+3;直線AC的解析式為y=x+1;(2);(3)E(0,1)或或.
【解析】
(1)將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出b、c的值,繼而得出拋物線解析式,利用待定系數(shù)法可求出AC的函數(shù)解析式;
(2)利用軸對稱求最短路徑的知識,找到N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對稱點(diǎn)N′,連接N'D,N'D與直線x=3的交點(diǎn)即是點(diǎn)M的位置,繼而求出m的值.
(3)設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo),分情況討論,①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí),點(diǎn)F在點(diǎn)E上方,②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC(或CA)延長線上時(shí),點(diǎn)F在點(diǎn)E下方,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)表示出F的坐標(biāo),將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出x的值,繼而求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
(1)由拋物線y=-x2+bx+c過點(diǎn)A(-1,0)及C(2,3),可得:
,
解得:,
故拋物線為y=-x2+2x+3,
設(shè)直線AC解析式為y=kx+n,將點(diǎn)A(-1,0)、C(2,3)代入得:
,
解得:,
故直線AC為y=x+1.
(2)作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對稱點(diǎn)N′,則N′(6,3),由(1)得D(1,4),
可求出直線DN′的函數(shù)關(guān)系式為,
當(dāng)M(3,m)在直線DN′上時(shí),MN+MD的值最小,
則.
(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2)
點(diǎn)E在直線AC上,設(shè)E(x,x+1),
①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí),點(diǎn)F在點(diǎn)E上方,則F(x,x+3),
∵F在拋物線上,
∴x+3=-x2+2x+3
解得,x=0或x=1(舍去),
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(0,1).
②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC(或CA)延長線上時(shí),點(diǎn)F在點(diǎn)E下方,則F(x,x-1),
∵點(diǎn)F在拋物線上,
∴x-1=-x2+2x+3,
解得x=或x=,
所以,y=或y=
即點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(,)或(,)
綜上可得滿足條件的點(diǎn)E為E(0,1)或(,)或(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,海中有兩個(gè)小島,,某漁船在海中的處測得小島D位于東北方向上,且相距,該漁船自西向東航行一段時(shí)間到達(dá)點(diǎn)處,此時(shí)測得小島恰好在點(diǎn)的正北方向上,且相距,又測得點(diǎn)與小島相距.
(1)求的值;
(2)求小島,之間的距離(計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)不取近似值).
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,ABCD的頂點(diǎn)B,C在x軸上,A,D兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y=﹣(x<0)與y=(x>0)的圖象上,若ABCD的面積為4,則k的值為:_____.
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【題目】如圖,在中,,,,P是BC上一動(dòng)點(diǎn),過P作AP的垂線交CD于E,將翻折得到,延長FP交AB于H,連結(jié)AE,PE交AC于G.
(1)求證;
(2)當(dāng)時(shí),求AE的長;
(3)當(dāng)時(shí),求AG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方的邊長為,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),是的中點(diǎn),過點(diǎn)作,且,連接,,過點(diǎn)作,分別交,于點(diǎn),.
(1)求證:;
(2)求證:;
(3)若,求的長.
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【題目】現(xiàn)如今,“垃圾分類”意識已深入人心,垃圾一般可分為:可回收物、廚余垃圾、有害垃圾、其它垃圾.其中甲拿了一袋垃圾,乙拿了兩袋垃圾.
(1)直接寫出甲所拿的垃圾恰好是“廚余垃圾”的概率;
(2)求乙所拿的兩袋垃圾不同類的概率.
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【題目】如圖,點(diǎn)P是矩形ABCD的邊上一動(dòng)點(diǎn),矩形兩邊長AB、BC長分別為15和20,那么P到矩形兩條對角線AC和BD的距離之和是( 。
A.6B.12C.24D.不能確定
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【題目】如圖,已知直線y=kx+b與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于A(1,4)、B(4,1)兩點(diǎn),與x軸交于C點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象直接回答:在第一象限內(nèi),當(dāng)x取何值時(shí),一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值?
(3)點(diǎn)P是y=(x>0)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),作PQ⊥x軸于Q點(diǎn),連接PC,當(dāng)S△CPQ=S△CAO時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等且非零的實(shí)數(shù)根,探究滿足的條件.
小華根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),認(rèn)為可以從二次函數(shù)的角度研究一元二次方程的根的符號。下面是小華的探究過程:第一步:設(shè)一元二次方程對應(yīng)的二次函數(shù)為;
第二步:借助二次函數(shù)圖象,可以得到相應(yīng)的一元二次方程中滿足的條件,列表如下表。
方程兩根的情況 | 對應(yīng)的二次函數(shù)的大致圖象 | 滿足的條件 |
方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根 | ||
①_______ | ||
方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根 | ② | ③____________ |
(1)請將表格中①②③補(bǔ)充完整;
(2)已知關(guān)于的方程,若方程的兩根都是正數(shù),求的取值范圍.
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