Question

【題目】按要求作圖
（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，請(qǐng)畫一條直線，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形．（請(qǐng)你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來(lái)．只需畫圖，不必說(shuō)明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù)）

（2）已知△ABC中，∠C是其最小的內(nèi)角，過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)?zhí)角蟆螦BC與∠C之間的關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖（共有2種不同的分割法）．

（2）

解：設(shè)∠ABC=y，∠C=x，過(guò)點(diǎn)B的直線交邊AC于D．在△DBC中， ①若∠C是頂角，如圖1，

則∠CBD=∠CDB=90°﹣ x，∠A=180°﹣x﹣y．
而∠ADB＞90°，此時(shí)只能有∠A=∠ABD，即180°﹣x﹣y=y﹣（90°﹣ x）
即3x+4y=540°，即∠ABC=135°﹣ ∠C；
②若∠C是底角，
第一種情況：如圖2，

當(dāng)DB=DC時(shí)，則∠DBC=x，△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y﹣x．
由AB=AD，得2x=y﹣x，此時(shí)有y=3x，即∠ABC=3∠C．
由AB=BD，得180°﹣x﹣y=2x，此時(shí)3x+y=180°，即∠ABC=180°﹣3∠C．
由AD=BD，得180°﹣x﹣y=y﹣x，此時(shí)y=90°，即∠ABC=90°，∠C為小于45°的任意銳角．
第二種情況，如圖3，

當(dāng)BD=BC時(shí)，∠BDC=x，∠ADB=180°﹣x＞90°，此時(shí)只能有AD=BD，
從而∠A=∠ABD= ∠C＜∠C，這與題設(shè)∠C是最小角矛盾．
∴當(dāng)∠C是底角時(shí)，BD=BC不成立．
綜上，∠ABC與∠C之間的關(guān)系是：∠ABC=135°﹣ ∠C或∠ABC=180°﹣3∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=90°，∠C是小于45°的任意角

【解析】（1）已知角度，要分割成兩個(gè)等腰三角形，可以運(yùn)用直角三角形、等腰三角形性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，先計(jì)算出可能的角度，或者先從草圖中確認(rèn)可能的情況，及角度，然后畫上．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形的各種情形列方程，可得出角與角之間的關(guān)系．