如圖,兩等圓⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),且兩圓互相過圓心,過B作任一直線,分別交⊙O1、⊙O2于C、D兩點(diǎn),連接AC、AD.
(1)試猜想△ACD的形狀,并給出證明.
(2)若已知條件中兩圓不一定互相過圓心,試猜想三角形的形狀是怎樣的?證明你的結(jié)論.
(3)若⊙O1、⊙O2是兩個(gè)不相等的圓,半徑分別為R和r,那么(2)中的猜想還成立嗎作業(yè)寶?若成立,給出證明;若不成立,那么AC和AD的長與兩圓半徑有什么關(guān)系?說明理由.

解:(1)△ACD為等邊三角形.
∵兩圓是等圓,且兩圓互相過圓心,如圖,
連接AO1,AO2,BO1,BO2,O1O2,
則AO1=AO2=BO1=BO2=O1O2,
∴∠AO1B=∠AO2B=120°,
∴∠ADB=∠ACB=60°,
∴△ACD為等邊三角形.

(2)△ACD為等腰三角形.
∵兩圓是等圓,如圖,
連接AO1,AO2,BO1,BO2,
則AO1=AO2=BO1=BO2,∴∠AO1B=∠AO2B,
∴∠ADB=∠ACB;
∴△ACD為等腰三角形.

(3)不成立,此時(shí),=
如圖,分別作⊙O1,⊙O2的直徑AE,AF,分別交兩圓于E,F(xiàn)兩點(diǎn),
連接CE,DF,AB,則∠ACE=∠ADF=90°
又∠ABC是圓內(nèi)接四邊形ABDF的外角,
∴∠ABC=∠AFD.
∵∠ABC=∠AEC,
∴∠AEC=∠AFD,
∵∠ACE=∠ADF,
∴△ACE∽△ADF,
===
分析:(1)先判斷△ACD為等邊三角形.連接AO1,AO2,BO1,BO2,O1O2,根據(jù)已知條件能證明∠ADB=∠ACB=60°,則△ACD為等邊三角形.
(2)先判斷△ACD為等腰三角形.連接AO1,AO2,BO1,BO2,根據(jù)已知條件能證明∠ADB=∠ACB,則△ACD為等腰三角形.
(3)得出結(jié)論,不成立,此時(shí),=
連接CE,DF,AB,則有∠AEC=∠ADF=90°,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形外角的性質(zhì)得出∠ABC=∠AFD.再證明△ACE∽△ADF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出=
點(diǎn)評(píng):本題考查了相交兩圓的性質(zhì)、等腰三角形的判定、圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),是一道綜合題難度較大.
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(1)試猜想△ACD的形狀,并給出證明.
(2)若已知條件中兩圓不一定互相過圓心,試猜想三角形的形狀是怎樣的?證明你的結(jié)論.
(3)若⊙O1、⊙O2是兩個(gè)不相等的圓,半徑分別為R和r,那么(2)中的猜想還成立嗎精英家教網(wǎng)?若成立,給出證明;若不成立,那么AC和AD的長與兩圓半徑有什么關(guān)系?說明理由.

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