【題目】如圖所示,拋物線(m>0)的頂點為A,直線與軸的交點為點B.
(1)求出拋物線的對稱軸及頂點A的坐標(用含的代數(shù)式表示);
(2)證明點A在直線上,并求∠OAB的度數(shù);
(3)動點Q在拋物線對稱軸上,問:拋物線上是否存在點P,使以點P、Q、A為頂點的三角形與△OAB全等?若存在,求出的值,并寫出所有符合上述條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線的對稱軸為直線,頂點A的坐標為(,0);(2)∠OAB=30°;(3)存在,①=時, P(0,-),P(,-);②=時,P(,-3),P(3+,-3);③=2時, P(,-3),P(,-3);④=時, P(,-),P(,-).
【解析】(1)根據(jù)拋物線的解析式可得出拋物線的對稱軸和A點坐標,
(2)將A點坐標代入直線的解析式中進行驗證即可得出A點是否在直線y=xm上的.求∠OAB的度數(shù),可通過求∠OAB的正切值來得出,根據(jù)直線AB的解析式可得出B點坐標,即可得出OB的長,OA的長已求出,因此可在三角形OAB中得出∠OAB的正切值.即可得出∠OAB的度數(shù).
(3)本題可分成四種情況:
一:∠AQP=∠AOB=90°:
①AO=PQ,OB=AQ,此時P、B重合,即可求出P點坐標(根據(jù)拋物線的對稱性可知:P點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點也符合要求).
②AO=AQ,PQ=OB,此時P點縱坐標的絕對值與A點橫坐標相等,可將其代入拋物線的解析式中,可得出兩個符合條件的P點坐標.
二:∠APQ=∠AOB=90°:
①AO=PA,OB=PQ,可過P作拋物線對稱軸的垂線,通過∠PAQ的度數(shù)和AP即OA的長求出P點縱坐標,然后代入拋物線的解析式中即可得出兩個符合條件的P點坐標.
②AO=PQ,PA=OB,同①
因此本題共有8個符合條件的P點坐標.
(1)對稱軸:x=m;
頂點:A(m,0).
(2)將x=m代入函數(shù)y=x-m,
得y=×m-m=0
∴點A(m,0)在直線l上.
當x=0時,y=-m,
∴B(0,-m)
tan∠OAB=,
∴∠OAB=30度.
(3)以點P、Q、A為頂點的三角形與△OAB全等共有以下四種情況:
①當∠AQP=90°,PQ=m,AQ=m時,
如圖1,此時點P在y軸上,與點B重合,其坐標為(0,-m),
代入拋物線y=-(x-m)2
得-m=-3m2,
∵m>0,
∴m=
這時有P1(0,-)
其關(guān)于對稱軸的對稱點P2(,- )也滿足條件.
②當∠AQP=90°,PQ=m,AQ=m時
點P坐標為(m-m,-m),
代入拋物線y=-(x-m)2
得m=m2,
∵m>0,
∴m=
這時有P3(3-,-3)
還有關(guān)于對稱軸的對稱點P4(3+,-3).
③當∠APQ=90°,AP=m,PQ=m時
點P坐標為(m,m),代入拋物線y=-(x-m)2
得m=m2,
∵m>0,
∴m=2
這時有P5(,-3)
還有關(guān)于對稱軸的對稱點P6(3,-3).
④當∠APQ=90°,AP=m,PQ=m時
點P坐標為(m,m),
代入拋物線y=-(x-m)2
得m=m2,
∵m>0,
∴m=
這時有P7(,-)
還有關(guān)于對稱軸對稱的點P8(,-).
所以當m=時,有點P1(0,-),P2(,-);
當m=時,有點P3(3-,-3),P4(3+,-3);
當m=2時,有點P5(,-3),P6(3,-3);
當m=時,有點P7(,-),P8(,-).
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【題目】如圖,已知反比例函數(shù)的圖象過Rt△ABO斜邊OB的中點D,與直角邊AB相交于點C,連接AD,OC.若△ABO的周長為,AD=2,則△ACO的面積為_________.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,點E、F分別在BC、CD上,△AEF是等邊三角形連接AC交EF于G,下列結(jié)論: ①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC⊥EF,④BE+DF=EF,⑤EC=FG;其中正確結(jié)論有( )個
A.2B.3C.4D.5
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【題目】對于未知數(shù)為 x,y 的二元一次方程組,如果方程組的解 x,y 滿足 ,我們就說方程組的解 x 與 y 具有“鄰好關(guān)系”.
(1) 方程組的解x與y是否具有“鄰好關(guān)系”? 說明你的理由;
(2) 若方程組的解x與y具有“鄰好關(guān)系”,求m的值;
(3) 未知數(shù)為x,y的方程組,其中a與x,y都是正整數(shù),該方程組的解x與y是否具有“鄰好關(guān)系”? 如果具有,請求出a的值及方程組的解;如果不具有,請說明理由.
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【題目】請認真觀察圖形,解答下列問題:
(1)根據(jù)圖1中條件,試用兩種不同方法表示兩個陰影圖形的面積的和.
方法1:______;
方法2:______.
(2)從中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?請用等式表示出來:______;
(3)利用(2)中結(jié)論解決下面的問題:
如圖2,兩個正方形邊長分別為a、b,如果a+b=ab=4,求陰影部分的面積.
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【題目】如圖,在以線段AB為直徑的⊙O上取一點,連接AC、BC.將△ABC沿AB翻折后得到△ABD.
(1)試說明點D在⊙O上;
(2)在線段AD的延長線上取一點E,使AB2=AC·AE.求證:BE為⊙O的切線;
(3)在(2)的條件下,分別延長線段AE、CB相交于點F,若BC=2,AC=4,求線段EF的長.
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【題目】如圖①,在平面直角坐標系xOy 中,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(-1,0) 、B(3,0) 兩點,且與y軸交于點C
.
(1)求拋物線的表達式;
(2)如圖②,用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸,并沿x軸左右平移,直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、 Q兩點(點P在點Q的左側(cè)),連接PQ,在線段PQ上方拋物線上有一動點D,連接DP、DQ.
①若點P的橫坐標為,求△DPQ面積的最大值,并求此時點D 的坐標;
②直尺在平移過程中,△DPQ面積是否有最大值?若有,求出面積的最大值;若沒有,請說明理由.
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【題目】2018年5月3日,中國科學(xué)院在上海發(fā)布了中國首款人工智能芯片:寒武紀(MLU100),該芯片在平衡模式下的等效理論峰值速度達每秒128 000 000 000 000次定點運算,將數(shù)
128 000 000 000 000用科學(xué)計數(shù)法表示為( )
A. 1.281014 B. 1.2810-14 C. 1281012 D. 0.1281011
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,邊長不等的正方形依次排列,每個正方形都有一個頂點落在函數(shù)的圖象上,從左向右第3個正方形中的一個頂點A的坐標為,陰影三角形部分的面積從左向右依次記為、、、、,則的值為______用含n的代數(shù)式表示,n為正整數(shù)
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