Question

【題目】如圖，將一張正方形紙片ABCD對折，使CD與AB重合，得到折痕MN后展開，E為CN上一點，將△CDE沿DE所在的直線折疊，使得點C落在折痕MN上的點F處，連接AF，BF，BD.則下列結論中：①△ADF是等邊三角形；②tan∠EBF＝2－；③S△ADF＝S正方形ABCD；④BF2＝DF·EF.其中正確的是(　　)

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

由正方形的性質得出AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折疊的性質得出MN垂直平分AD，F(xiàn)D=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，由線段垂直平分線的性質得出FD=FA，得出△ADF是等邊三角形，①正確；

設AB=AD=BC=4a，則MN=4a，BN=AM=2a，由等邊三角形的性質得出∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，F(xiàn)A=AD=4a，F(xiàn)M=AM=2a，得出FN=MN-FM=（4-2）a，由三角函數(shù)的定義即可得出②正確；

求出△ADF的面積=ADFM=4a2，正方形ABCD的面積=16a2，得出③錯誤；

求出∠BFE=∠DFB，∠BEF=∠DBF，證出△BEF∽△DBF，得出對應邊成比例，得出④正確；即可得出結論．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，

由折疊的性質得：MN垂直平分AD，F(xiàn)D=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，

∴FD=FA，

∴AD=FD=FA，

即△ADF是等邊三角形，①正確；

設AB=AD=BC=4a，則MN=4a，BN=AM=2a，

∵△ADF是等邊三角形，

∴∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，F(xiàn)A=AD=4a，F(xiàn)M=AM=2a，

∴FN=MN-FM=（4-2）a，

∴tan∠EBF==2-，②正確；

∵△ADF的面積=ADFM=×4a×2a=4a2，正方形ABCD的面積=（4a）2=16a2，

∴，③錯誤；

∵AF=AB，∠BAF=90°-60°=30°，

∴∠AFB=∠ABF=75°，

∴∠DBF=75°-45°=30°，∠BFE=360°-90°-60°-75°=135°=∠DFB，

∵∠BEF=180°-75°-75°=30°=∠DBF，

∴△BEF∽△DBF，

∴，

∴BF2=DFEF，④正確；

故選B．