Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于點O，D是線段OB上一點，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），連接BE、CD．設BE、CD的中點分別為P、Q．
（1）求AO的長；
（2）求PQ的長；
（3）設PQ與AB的交點為M，請直接寫出|PM﹣MQ|的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，

∵CO⊥AB，

∴∠AOC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，

∴△ABC∽△ACO，

∴ = ，

∵AB= = =13，

∴OA= =

（2）解：如圖2中，取BD中點F，CD中點Q，連接PF、QF，

則PF∥ED，F(xiàn)Q∥BC，PF⊥FQ，且PF= ED=1，F(xiàn)Q= BC=6，

在Rt△PFQ中，PQ= = =

（3）解：如圖3中，取AD中點G，連接GQ，

∵GQ∥AC，ED∥AC，PF∥ED，

∴PF∥GQ，

∴△PMF∽△QMG，

∴ = = ，

∵PM+QM= ，

∴PM= ，MQ= ，

∴|PM﹣QM|=

【解析】（1）由△ABC∽△ACO，得 = ，由此即可求出OA．（2）如圖2中，取BD中點F，CD中點Q，連接PF、QF，在Rt△PFQ中，求出PF，QF即可解決問題．（3）如圖3中，取AD中點G，連接GQ，由PF∥GQ，推出△PMF∽△QMG，推出 = = ，由PM+QM= ，可以求出PM，QM，即可解決問題．