Question

如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=12

3

，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)沿DB經(jīng)每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)過程中，以EF為邊作正方形EFPQ，使它與等腰△ABC的線段BC的同側(cè)，點(diǎn)E、F同進(jìn)出發(fā)，當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)E再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．回到點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F也隨之停止．設(shè)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）
（1）設(shè)EF的長(zhǎng)為y，在點(diǎn)E從點(diǎn)D向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫t的取值范圍）
（2）t為何值時(shí)，PQ經(jīng)過點(diǎn)A？
（3）當(dāng)BE=5

3

時(shí)，求△ABC與正方形EFPQ重疊部分的面積？
（4）隨著時(shí)間t的變化，△ABC與正方形EFPQ重疊部分的周長(zhǎng)在某個(gè)時(shí)刻會(huì)達(dá)到最大值，請(qǐng)回答：該最大值能否持續(xù)一個(gè)時(shí)段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)EF=DE+DF，由路程=速度×?xí)r間即可求出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的知識(shí)求解即可；
（3）當(dāng)BE=5

3

時(shí)，正方形EFPQ在△ABC內(nèi)部，求出EF的長(zhǎng)，根據(jù)正方形面積公式即可求出；
（4）當(dāng)Q、P分別在AB、AC上時(shí)，△ABC與正方形EFPQ重疊部分的周長(zhǎng)會(huì)達(dá)到最大值．

解答：解：（1）y與t之間的函數(shù)關(guān)系式：y=2t；

（2）連接AD，設(shè)經(jīng)過ts，
可得AD⊥BC，
BD=

1

2

BC=6

3

，
AD=BD•tan∠B=6，
又知正方形EFPQ，PQ經(jīng)過點(diǎn)A，
即AD=EF，2t=6，
解得t=3s，

（3）EF=BC-2BE=12

3

-2×5

3

=2

3

，
△ABC與正方形EFPQ重疊部分的面積為：2

3

×2

3

=12；

（4）當(dāng)t=3，既PQ經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，△ABC與正方形EFPQ重疊部分的周長(zhǎng)達(dá)到最大值w，設(shè)此時(shí)QE交AB于M，PF交AC與N，由（1）知AD=EF=6，
∴AQ=ED=3，
∴在Rt△AQM中，QM=

3

，AM=2

3

，又ME=6-

3

，
∴w=2（AM+ME+ED）=2

3

+18
∵該最大值能持續(xù)到點(diǎn)E回到點(diǎn)D，
∴3≤t≤6時(shí)，△ABC與正方形EFPQ重疊部分的周長(zhǎng)達(dá)到最大值2

3

+18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．