Question

如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，且當(dāng)x=3和x=-3時，這條拋物線上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，經(jīng)過點(diǎn)C的直線與x軸平行．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）若D是直線上的一個動點(diǎn)，求使△DAB的周長最小時點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）以這條拋物線上的任意一點(diǎn)P為圓心，PO的長為半徑作⊙P，試判斷⊙P與直線的位置關(guān)系，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

⑴，⑵，⑶⊙P與直線相切，見解析

【解析】（1）因?yàn)楫?dāng)x=3和x=-3時，這條拋物線上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，

所以．……………………………………………………………1分

把x=-2，y=0；x=4，y=3，代入，得

，解得，

所以這條拋物線的解析式為．……………………………4分

（2）作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A′，

連接A′B交直線于點(diǎn)D，此時△DAB的周長最�。�……………………5分

設(shè)直線A′B的解析式為，

把x=-2，y=-4；x=4，y=3，代入，得

，解得，

所以直線A′B的解析式為，……………………………………7分

點(diǎn)D的坐標(biāo)．…………………………………………………………8分

（3）⊙P與直線相切．…………………………………………………………9分

設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則

PO=，

點(diǎn)P到直線的距離，…………………………11分

所以點(diǎn)P到直線的距離=⊙P的半徑PO，

所以⊙P與直線相切．…………………………………………………………12分

（1）用代入法解出拋物線的解析式；

（2）利用周長最小的性質(zhì)得拋物線的解析式；

（3）利用勾股定理解得。