【題目】如圖,P為正方形ABCD的邊BC上一動點(P與B、C不重合),點Q在CD邊上,且BP=CQ,連接AP、BQ交于點E,將△BQC沿BQ所在直線對折得到△BQN,延長QN交BA的延長線于點M.
(1)求證:AP⊥BQ;
(2)若AB=3,BP=2PC,求QM的長;
(3)當BP=m,PC=n時,求AM的長.
【答案】
(1)
證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠C=90°,AB=BC.
∴在△ABP和△BCQ中,
,
∴△ABP≌△BCQ,
∴∠BAP=∠CBQ.
∵∠BAP+∠APB=90°,
∴∠CBQ+∠APB=90°,
∴∠BEP=90°,
∴AP⊥BQ;
(2)
解:∵正方形ABCD中,AB=3,BP=2CP,
∴BP=2,
由(1)可得NQ=CQ=BP=2,NB=3.
又∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ,
∴MQ=MB.
設MQ=MB=x,則MN=x﹣2.
在直角△MBN中,MB2=BN2+MN2,
即x2=32+(x﹣2)2,
解得:x= ,即MQ=
(3)
解:∵BP=m,CP=n,
由(1)(2)得MQ=BM,CQ=QN=BP=m,
設AM=y,BN=BC=m+n,
在直角△BNM中,MB=y+m+n,MN=MQ﹣QN=(y+m+n)﹣m=y+n,
(y+m+n)2=(m+n)2+(y+n)2,
即y2+2(m+n)y+(m+n)2=(m+n)2+y2+2ny+n2,
則y= ,AM=
【解析】(1)證明△ABP≌△BCQ,則∠BAP=∠CBQ,從而證明∠CBQ+∠APB=90°,進而得證;(2)設MQ=MB=x,則MN=x﹣2.在直角△MBN中,利用勾股定理即可列方程求解;(3)設AM=y,BN=BC=m+n,在直角△BNM中,MB=y+m+n,MN=MQ﹣QN=(y+m+n)﹣m=y+n,利用勾股定理即可求解.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一輪船在P處測得燈塔A在正北方向,燈塔B在南偏東30°方向,輪船向正東航行了900m,到達Q處,測得A位于北偏西60°方向,B位于南偏西30°方向.
(1)線段BQ與PQ是否相等?請說明理由;
(2)求A、B間的距離(結果保留根號).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,lA、lB分別表示A步行與B騎車在同一路上行駛的路程S與時間t的關系.
(1)B出發(fā)時與A相距 千米.
(2)B走了一段路后,自行車發(fā)生故障,進行修理,所用的時間是 小時.
(3)B出發(fā)后 小時與A相遇.
(4)求出A行走的路程S與時間t的函數(shù)關系式.
(5)若B的自行車不發(fā)生故障,保持出發(fā)時的速度前進, 小時與A相遇,相遇點離B的出發(fā)點 千米.在圖中表示出這個相遇點C.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在 ABC中,AD平分 BAC,按如下步驟作圖:
第一步,分別以點A、D為圓心,以大于 AD的長為半徑在AD兩側做弧,交于兩點M、N;
第二步,連接MN分別交AB、AC于點E、F;
第三步,連接DE、DF.
若BD=6,AF=4,CD=3,則BE的長是( ).
A.2
B.4
C.6
D.8
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB,CD相交于點O,射線OM平分∠AOC,ON⊥OM.
(1)若∠BOD=70°,求∠AOM和∠CON的度數(shù);
(2)若∠BON=50°,求∠AOM和∠CON的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形 ABCD 中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°, 則四邊形 ABCD 的面積為( )
A. 15 B. 14.5 C. 13 D. 12.5
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax-2ax-3a(a<0)與x軸交于A、B兩點(A在B的左側),與y軸交于點C,拋物線的對稱軸與拋物線交于點P,與直線BC交于點M,且PM= AB.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點K是x軸正半軸上一點,點A、P關于點K的對稱點分別為 、 ,連接 、 ,若 ,求點K的坐標;
(3)矩形ADEF的邊AF在x軸負半軸上,邊AD在第二象限,AD=2,DE=3.將矩形ADEF沿x軸正方向平移t(t>0)個單位,直線AD、EF分別交拋物線于G、H.問:是否存在實數(shù)t,使得以點D、F、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖放置的△OAB1 , △B1A1B2 , △B2A2B3 , …都是邊長為2的等邊三角形,點A在y軸上,點O,B1 , B2 , B3…都在直線l上,則點B2017的坐標是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BD平分∠ABC,AE⊥BD于點O,交BC于點E,AD∥BC,連接CD.
(1)求證:AO=EO;
(2)若AE是△ABC的中線,則四邊形AECD是什么特殊四邊形?證明你的結論.
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