Question

（滿分13分）如圖12.1，已知拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E(4,0)，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為 (m,4)，直角梯形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且BC=1，AD=2，AB=3.

（1）求m的值及該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將直角梯形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖12.1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0≤t≤3)，直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N(如圖12.2所示).

① 當(dāng)t為何值時(shí)，△PNC是以PN為底邊的等腰三角形 ；

② 設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S，試問(wèn)S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

（1）由已知，根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，得m=2，

        ∴ 頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4)，                        ………………(1分)

故可設(shè)其關(guān)系式為y=a(x-2)²+4.

又拋物線經(jīng)過(guò)O(0,0)，于是得a(0-2)²+4=0，解得 a=-1.  ………(3分)

∴ 所求函數(shù)關(guān)系式為y=-(x-2)²+4，即y=-x²+4x.            ………(4分)

（2）① ∵ 點(diǎn)A在x軸的正半軸上，且N在拋物線上，CB⊥PN,

∴ OA=AP=t，

∴ 點(diǎn)P，B，N的坐標(biāo)分別為(t,t)，(t,3)，(t, -t²+4t).

∴ BP=3-t，AN= -t²+4t（0≤t≤3）.

∴ PN=AN-AP=(-t²+4t)-t=-t²+3t=t(3-t)≥0.                ………(6分)

要使得△PNC是以PN為底邊的等腰三角形，

只需PN=2BP，即-t²+3t=2(3-t)，

整理，得t²-5t+6=0，解得 t₁=2，t₂=3.

當(dāng)t=3時(shí)，P，N兩點(diǎn)重合，不符合題意，舍去.

        ∴ 當(dāng)t=2時(shí)，△PNC是以PN為底邊的等腰三角形.         ………(8分)

② S存在最大值.                                         ………(9分)

（ⅰ）當(dāng)PN=0，即t=0或t=3時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是三角形.

          若t=0，則S=AD·AB=·3·2=3.

若t=3，則S=BC·AB=·1·3=.

（ⅱ）當(dāng)PN≠0，即0＜t＜3時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形.

連結(jié)PD，CN，則

S=S_{四邊形ANCD}-S_△ADP= S_梯形ABCD+S_△BCN -S_△ADP

        =(BC+AD)·AB+BN·BC-AP·AD

=(1+2)·3+(-t²+4t- 3)·1-t·2

=-t²+t+ 3=-(t-1)²+.

由-＜0，0＜t＜3，當(dāng)t=1時(shí)，S_最大=.

綜上所述，當(dāng)t=1時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形面積有最大值，

這個(gè)最大值為.                                 ………………(13分)

 

解析:略