【題目】如圖①,若拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點(diǎn)B在拋物線L1上(點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合),我們把這樣的兩拋物線L1、L2稱為“伴隨拋物線”,可見(jiàn)一條拋物線的“伴隨拋物線”可以有多條.
(1)拋物線L1:y=-x2+4x-3與拋物線L2是“伴隨拋物線”,且拋物線L2的頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4,求拋物線L2的表達(dá)式;
(2)若拋物線y=a1(x-m)2+n的任意一條“伴隨拋物線”的表達(dá)式為y=a2(x-h)2+k,請(qǐng)寫出a1與a2的關(guān)系式,并說(shuō)明理由;
(3)在圖②中,已知拋物線L1:y=mx2-2mx-3m(m>0)與y軸相交于點(diǎn)C,它的一條“伴隨拋物線”為L2,拋物線L2與y軸相交于點(diǎn)D,若CD=4m,求拋物線L2的對(duì)稱軸.
【答案】(1)y=(x-4)2-3(2)伴隨拋物線的頂點(diǎn)不重合,∴m≠h,∴a1=-a2(3)拋物線L2的對(duì)稱軸為x=±2.
【解析】試題分析:(1)先分別求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo),然后再利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可;
(2)根據(jù):拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上,可以列出兩個(gè)方程,相加可得:(a1+a2 )(m-h)2=0,可得a1=-a2;
(3)易得拋物線L1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4m),設(shè)拋物線L2的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為h,則其縱坐標(biāo)為mh2-2mh-3m,則有拋物線L2的表達(dá)式為y=-mx2+2mhx-2mh-3m,從而得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-2mh-3m),再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3m),從而可得|(-2mh-3m)-(-3m)|=4m,解得h=±2,從而得拋物線L2的對(duì)稱軸為x=±2.
試題解析:(1)由y=-x2+4x-3可得A的坐標(biāo)為(2,1),
將x=4代入y=-x2+4x-3,得y=-3,∴B的坐標(biāo)為(4,-3),
設(shè)拋物線L2的解析式為y=a(x-4)2-3; 將(2,1)代入y=a(x-4)2-3,
得1=a(2-4)2-3,解得a=1,
∴拋物線L2的表達(dá)式為y=(x-4)2-3;
(2)a1=-a2,理由如下:
∵拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點(diǎn)B在拋物線L1上,
∴可列方程組: ,
整理,得(a1+a2)(m-h)2=0,
∵伴隨拋物線的頂點(diǎn)不重合,∴m≠h,∴a1=-a2;
(3)拋物線L1:y=mx2-2mx-3m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4m),
設(shè)拋物線L2的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為h,則其縱坐標(biāo)為mh2-2mh-3m,
∴拋物線L2的表達(dá)式為y=-m(x-h)2+mh2-2mh-3m,
化簡(jiǎn)得,y=-mx2+2mhx-2mh-3m,
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-2mh-3m),
又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3m),
可得|(-2mh-3m)-(-3m)|=4m, 解得h=±2,
∴拋物線L2的對(duì)稱軸為x=±2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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如圖1,在⊙O中,AB是直徑,點(diǎn)C在⊙O上,∠BAC=α,所以∠ACB=90°,tanα==.
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【問(wèn)題解決】
已知,如圖2,點(diǎn)M、N、P為圓O上的三點(diǎn),且∠P=β,tanβ =,求sin2β的值.
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【題目】暑假期間,小剛一家乘車去離家380公里的某景區(qū)旅游,他們離家的距離y(km)與汽車行駛時(shí)間x(h)之間的函數(shù)圖象如圖所示.
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