如圖,已知拋物線y=mx2+nx+p與y=x2+6x+5關(guān)于y軸對稱,與y軸交于點M,與x軸交于點A和B.
(1)y=mx2+nx+p的解析式為______,試猜想出與一般形式拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱的二次函數(shù)解析式為______.
(2)A,B的中點是點C,則sin∠CMB=______.
(3)如果過點M的一條直線與y=mx2+nx+p圖象相交于另一點N(a,b),a,b滿足a2-a+m=0,b2-b+m=0,則點N的坐標為______.
(1)y=x2+6x+5的頂點為(-3,-4),
即y=mx2+nx+p的頂點的為(3,-4),
設(shè)y=mx2+nx+p=a(x-3)2-4,
y=x2+6x+5與y軸的交點M(0,5),
即y=mx2+nx+p與y軸的交點M(0,5).
即a=1,
所求二次函數(shù)為y=x2-6x+5.
猜想:
與一般形式拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱的二次函數(shù)解析式是y=ax2-bx+c.


(2)過點C作CD⊥BM.
拋物線y=x2-6x+5與x軸的交點A(1,0),B(5,0),與y軸交點M(0,5),AB中點C(3,0).
故△MOB,△BCD是等腰直角三角形,CD=
2
2
BC=
2

在Rt△MOC中,MC=
34

則sin∠CMB=
CD
MC
=
17
17


(3)設(shè)過點M(0,5)的直線為y=kx+b,則b=5.
y=kx+5
y=x2-6x+5

解得
x1=0
y1=5
,
x2=k+6
y2=k2+6k+5

則a=k+6,b=k2+6k+5,
由已知a,b是方程x2-x+m=0的解,故a+b=1.
即(k+6)+(k2+6k+5)=1,
化簡k2+7k+10=0,則k1=-2,k2=-5.
點N的坐標是(4,-3)或(1,0).
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(2口口少•荊門)9開4向上4拋物線與x軸交于g(m-2,口),B(m+2,口)兩點,記拋物線頂點為C,且gC⊥BC.
(你)若m為常數(shù),求拋物線4解析式;
(2)若m為小于口4常數(shù),那么(你)中4拋物線經(jīng)過怎么樣4平移可以使頂點在坐標原點;
(右)設(shè)拋物線交三軸正半軸于下點,問是否存在實數(shù)m,使得△BO下為等腰三角形?若存在,求出m4值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

在第一象限內(nèi),以
5
為半徑的圓⊙M經(jīng)過點A(-1,0),B(3,0),與y軸相交于點C.
(1)在所給的坐標系中作出⊙M,并求M點的坐標;
(2)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(3)若D為⊙M上的最低點,E為x軸上的任一點,則在拋物線上是否存在這樣的點F,使得以點A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點F的坐標;若不存在,說出理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知二次函數(shù)y=x2-3x-4的圖象交x軸于A、B兩點.
(1)若點P在線段AB上運動,作PQ⊥x軸,交拋物線于點Q,求PQ的最大值;
(2)已知點D(5,6)在拋物線上,若點M在線段AD上運動,作MN⊥x軸,交拋物線于點N,求MN的最大值;
(3)在(2)的運動過程中,求△ADN面積的最大值.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,對稱軸為x=3的拋物線y=ax2+2x與x軸相交于點B,O.
(1)求拋物線的解析式,并求出頂點A的坐標;
(2)連接AB,把AB所在的直線平移,使它經(jīng)過原點O,得到直線l.點P是l上一動點.設(shè)以點A、B、O、P為頂點的四邊形面積為S,點P的橫坐標為t,當0<S≤18時,求t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當t取最大值時,拋物線上是否存在點Q,使△OPQ為直角三角形且OP為直角邊?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=x2+mx-2m2(m≠0).
(1)求證:該拋物線與x軸有兩個不同的交點;
(2)過點P(0,n)作y軸的垂線交該拋物線于點A和點B(點A在點P的左邊),是否存在實數(shù)m、n,使得AP=2PB?若存在,則求出m、n滿足的條件;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知矩形紙片OABC的長為4,寬為3,以長OA所在的直線為x軸,O為坐標原點建立平面直角坐標系;點P是OA邊上的動點(與點O、A不重合),現(xiàn)將△POC沿PC翻折得到△PEC,再在AB邊上選取適當?shù)狞cD,將△PAD沿PD翻折,得到△PFD,使得直線PE、PF重合.
(1)若點E落在BC邊上,如圖①,求點P、C、D的坐標,并求過此三點的拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若點E落在矩形紙片OABC的內(nèi)部,如圖②,設(shè)OP=x,AD=y,當x為何值時,y取得最大值?
(3)在(1)的情況下,過點P、C、D三點的拋物線上是否存在點Q,使△PDQ是以PD為直角邊的直角三角形?若不存在,說明理由;若存在,求出點Q的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,設(shè)CD的長為x,四邊形ABCD的面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是( 。
A.y=
2
25
x2
B.y=
4
25
x2
C.y=
2
5
x2
D.y=
4
5
x2

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知:以原點O為圓心、5為半徑的半圓與y軸交于A、G兩點,AB與半圓相切于點A,點B的坐標為(3,yB)(如圖1);過半圓上的點C(xC,yC)作y軸的垂線,垂足為D;Rt△DOC的面積等于
3
8
xC2
(1)求點C的坐標;
(2)①命題“如圖2,以y軸為對稱軸的等腰梯形MNPQ與M1N1P1Q1的上底和下底都分別在同一條直線上,NPMQ,PQP1Q1,且NP>MQ.設(shè)拋物線y=a0x2+h0過點P、Q,拋物線y=a1x2+h1過點P1、Q1,則h0>h1”是真命題.請你以Q(3,5)、P(4,3)和Q1(p,5)、P1(p+1,3)為例進行驗證;
②當圖1中的線段BC在第一象限時,作線段BC關(guān)于y軸對稱的線段FE,連接BF、CE,點T是線段BF上的動點(如圖3);設(shè)K是過T、B、C三點的拋物線y=ax2+bx+c的頂點,求K的縱坐標yK的取值范圍.

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