Question

【題目】如圖，半圓D的直徑AB＝4，線段OA＝7，O為原點(diǎn)，點(diǎn)B在數(shù)軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在數(shù)軸上所表示的數(shù)為m．

（1）當(dāng)半圓D與數(shù)軸相切時(shí)，m＝　 ．

（2）半圓D與數(shù)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)另一個(gè)公共點(diǎn)是C．

①直接寫出m的取值范圍是　 ．

②當(dāng)BC＝2時(shí)，求△AOB與半圓D的公共部分的面積．

（3）當(dāng)△AOB的內(nèi)心、外心與某一個(gè)頂點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求tan∠AOB的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②△AOB與半圓D的公共部分的面積為；（3）tan∠AOB的值為或．

【解析】

（1）根據(jù)題意由勾股定理即可解答

（2）①根據(jù)題意可知半圓D與數(shù)軸相切時(shí)，只有一個(gè)公共點(diǎn)，和當(dāng)O、A、B三點(diǎn)在數(shù)軸上時(shí)，求出兩種情況m的值即可

②如圖，連接DC，得出△BCD為等邊三角形，可求出扇形ADC的面積，即可解答

（3）根據(jù)題意如圖1，當(dāng)OB＝AB時(shí)，內(nèi)心、外心與頂點(diǎn)B在同一條直線上，作AH⊥OB于點(diǎn)H，設(shè)BH＝x，列出方程求解即可解答

如圖2，當(dāng)OB＝OA時(shí)，內(nèi)心、外心與頂點(diǎn)O在同一條直線上，作AH⊥OB于點(diǎn)H，設(shè)BH＝x，列出方程求解即可解答

（1）當(dāng)半圓與數(shù)軸相切時(shí)，AB⊥OB，

由勾股定理得m＝ ，

故答案為： ．

（2）①∵半圓D與數(shù)軸相切時(shí)，只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)m＝，

當(dāng)O、A、B三點(diǎn)在數(shù)軸上時(shí)，m＝7+4＝11，

∴半圓D與數(shù)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為．

故答案為：．

②如圖，連接DC，當(dāng)BC＝2時(shí)，

∵BC＝CD＝BD＝2，

∴△BCD為等邊三角形，

∴∠BDC＝60°，

∴∠ADC＝120°，

∴扇形ADC的面積為 ，

，

∴△AOB與半圓D的公共部分的面積為 ；

（3）如圖1，

當(dāng)OB＝AB時(shí)，內(nèi)心、外心與頂點(diǎn)B在同一條直線上，作AH⊥OB于點(diǎn)H，設(shè)BH＝x，則72﹣（4+x）2＝42﹣x2，

解得x＝ ，OH＝ ，AH＝ ，

∴tan∠AOB＝，

如圖2，當(dāng)OB＝OA時(shí)，內(nèi)心、外心與頂點(diǎn)O在同一條直線上，作AH⊥OB于點(diǎn)H，

設(shè)BH＝x，則72﹣（4﹣x）2＝42﹣x2，

解得x＝ ，OH＝，AH＝，

∴tan∠AOB＝．

綜合以上，可得tan∠AOB的值為或．