Question

如圖，將一塊直角三角形紙板的直角頂點(diǎn)放在C（1，）處，兩直角邊分別與x，y軸平行，紙板的另兩個(gè)頂點(diǎn)A，B恰好是直線y=kx+與雙曲線y=（m＞0）的交點(diǎn)．

（1）求m和k的值；
（2）設(shè)雙曲線y=（m＞0）在A，B之間的部分為L，讓一把三角尺的直角頂點(diǎn)P在L上滑動(dòng)，兩直角邊始終與坐標(biāo)軸平行，且與線段AB交于M，N兩點(diǎn)，請?zhí)骄渴欠翊嬖邳c(diǎn)P使得MN=AB，寫出你的探究過程和結(jié)論．

Answer 1

（1）k=﹣且m=4 （2）不存在，理由見解析

試題分析：（1）由題意易知點(diǎn)A橫坐標(biāo)為1，代入Y=，可用含m的代數(shù)式表示它的縱坐標(biāo)；同理可表示點(diǎn)B坐標(biāo)，再代入方程組即可求m和k的值；
（2）用反證法證明．假設(shè)存在，運(yùn)用一元二次方程判別式即可解出．
解：（1）∵A，B在雙曲線y=（m＞0）上，AC∥y軸，BC∥x軸，
∴A，B的坐標(biāo)分別（1，m），（2m，）．（1分）
又點(diǎn)A，B在直線y=kx+上，
∴（2分）
解得或（4分）
當(dāng)k=﹣4且m=時(shí)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)都是（1，，不合題意，應(yīng)舍去；
當(dāng)k=﹣且m=4時(shí)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4），（8，，符合題意．
∴k=﹣
且m=4．（5分）
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P使得MN=AB．
∵AC∥y軸，MP∥y軸，
∴AC∥MP，
∴∠PMN=∠CAB，
∴Rt△ACB∽R(shí)t△MPN，
∴，（7分）
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P（x，）（1＜x＜8），
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為M（x，﹣x+），
∴MP=﹣．
又∵AC=4﹣，
∴，即2x²﹣11x+16=0（※）（9分）
∵△=（﹣11）²﹣4×2×16=﹣7＜0．
∴方程（※）無實(shí)數(shù)根．
∴不存在點(diǎn)P使得MN=AB．（10分）
點(diǎn)評(píng)：此題難度中等，考查反比例函數(shù)的性質(zhì)及坐標(biāo)意義．解答此題時(shí)同學(xué)們要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．