【題目】已知如圖,點 C 在以 AB 為直徑的⊙O 上,點 D 在 AB 的延長線上,∠BCD =∠A.
(1)求證:CD 為⊙O 的切線;
(2)過點 C 作 CE⊥AB 于點 E.若 CE = 2,cos D =,求 AD 的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)先連接CO,根據(jù)AB是⊙O直徑,得出∠1+∠OCB=90°,再根據(jù)AO=CO,得出∠1=∠A,最后根據(jù)∠4=∠A,證出OC⊥CD,即可得出CD為⊙O的切線;
(2)根據(jù)OC⊥CD,得出∠3+∠D=90°,再根據(jù)CE⊥AB,得出∠3+∠2=90°,從而得出cos∠2=cosD,再在△OCE中根據(jù)余弦定義得出CO的值,根據(jù)勾股定理求出OE的值,利用sinD=sin∠2,求出OD的值,即可得出AD的長.
試題解析:證明:(1)連接CO.∵AB是⊙O直徑,∴∠1+∠OCB=90°.∵AO=CO,∴∠1=∠A.∵∠4=∠A,∴∠4+∠OCB=90°.即∠OCD=90°,∴OC⊥CD.又∵OC是⊙O半徑,∴CD為⊙O的切線.
(2)∵OC⊥CD于C,∴∠3+∠D=90°.∵CE⊥AB于E,∴∠3+∠2=90°,∴∠2=∠D,∴cos∠2=cosD.在△OCE中,∠OCD=90°,∴cos∠2=.∵cosD=,CE=2,∴,∴CO=,∴⊙O的半徑為,∴OE===.∵sinD=sin∠2,
∴,∴,∴,解得:OD= ,AD=OD+OA==.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC中,BC=6,D、E分別在BC、AC上,且DE∥AC,MN是△BDE的中位線.將線段DE從BD=2處開始向AC平移,當(dāng)點D與點C重合時停止運動,則在運動過程中線段MN所掃過的區(qū)域面積為_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察如圖圖形,把一個三角形分別連接其三邊中點,構(gòu)成4個小三角形,挖去中間的一個小三角形(如圖1),對剩下的三個小三角形再分別重復(fù)以上做法,……,據(jù)此解答下面的問題
(1)填寫下表:
圖形 | 挖去三角形的個數(shù) |
圖形1 | 1 |
圖形2 | 1+3 |
圖形3 | 1+3+9 |
圖形4 |
|
(2)根據(jù)這個規(guī)律,求圖n中挖去三角形的個數(shù)wn;(用含n的代數(shù)式表示)
(3)若圖n+1中挖去三角形的個數(shù)為wn+1,求wn+1﹣Wn
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面的材料:
點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a,b,A,B兩點之間的距離表示為|AB|
當(dāng)A、B兩點中有一點在原點時,設(shè)點A在原點,如圖①|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|
當(dāng)A、B兩點都不在原點時,
(1)如圖②,點A,B都在原點的右邊,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|
(2)如圖③,點A、B都在原點的左邊,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣(﹣a)=|a﹣b|
(3)如圖④,點A、B在原點的兩邊,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(﹣b)=|a﹣b|
綜上所述,數(shù)軸上A、B兩點之間的距離|AB|=|a﹣b|
請用上面的知識解答下面的問題:
(1)數(shù)軸上表示﹣2和﹣4的兩點之間的距離是 ,數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是 .
(2)數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點A和B之間的距離是 ,如果|AB|=2,那么x為 .
(3)當(dāng)|x+1|+|x﹣2|=5時的整數(shù)x的值 .
(4)當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取最小值時,相應(yīng)的x的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀理解題
閱讀材料:
兩個兩位數(shù)相乘,如果這兩個因數(shù)的十位數(shù)字相同,個位數(shù)字的和是10,該類乘法的速算方法是:將一個因數(shù)的十位數(shù)字與另一個因數(shù)的十位數(shù)字加1的和相乘,所得的積作為計算結(jié)果的前兩位,將兩個因數(shù)的個位數(shù)字之積作為計算結(jié)果的后兩位(數(shù)位不足兩位,用0補齊)。
比如,它們乘積的前兩位是,它們乘積的后兩位是,所以;
再如,它們乘積的前兩位是,它們乘積的后兩位是,所以;
又如,,不足兩位,就將6寫在百位:,不足兩位,就將9寫在個位,十位上寫0,所以
該速算方法可以用我們所學(xué)的整式乘法與分解因式的知識說明其合理性;
設(shè)其中一個因數(shù)的十位數(shù)字為,個位數(shù)字是,(、表示1~9的整數(shù)),則該數(shù)可表示為,另一因數(shù)可表示為.
兩數(shù)相乘可得:
.
(注:其中表示計算結(jié)果的前兩位,表示計算結(jié)果的后兩位。)
問題:
兩個兩位數(shù)相乘,如果其中一個因數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字相同,另一因數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是10.
如、、等.
(1)探索該類乘法的速算方法,請以為例寫出你的計算步驟;
(2)設(shè)十位數(shù)字與個位數(shù)字相同的因數(shù)的十位數(shù)字是,則該數(shù)可以表示為___________.
設(shè)另一個因數(shù)的十位數(shù)字是,則該數(shù)可以表示為___________.(、表示1~9的正整數(shù))
(3)請針對問題(1)(2)中的計算,模仿閱讀材料中所用的方法寫出如:的運算式:____________________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,矩形 OABC 的 頂 點 A(0,3),C(- 1,0). 將 矩 形 OABC 繞原點順時針旋轉(zhuǎn) 900,得到矩形 OA’B’C’.解答下列問題:
(1)求出直線 BB’的函數(shù)解析式;
(2)直線 BB’與 x 軸交于點 M、與 y 軸交于點N,拋物線 y = ax2+ bx + c 的圖象經(jīng)過點C、M、N,求拋物線的函數(shù)解析式.
(3)將△MON 沿直線 MN 翻折,點 O 落在點P 處,請你判斷點 P 是否在拋物線上,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:AB=AC,PA=PC,若PA為△ABC的外接圓⊙O的切線
(1) 求證:PC為⊙O的切線;
(2) 連接BP,若sin∠BAC=,求tan∠BPC的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,A、O兩點的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,0),點P在正比例函數(shù)y=x(x>0)圖象上運動,則滿足△PAO為等腰三角形的P點的坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】當(dāng)m,n是正實數(shù),且滿足m+n=mn時,就稱點P(m,)為“完美點”.
(1)若點E為完美點,且橫坐標(biāo)為2,則點E的縱坐標(biāo)為 ;若點F為完美點,且橫坐標(biāo)為3,則點F的縱坐標(biāo)為 ;
(2)完美點P在直線 (填直線解析式)上;
(3)如圖,已知點A(0,5)與點M都在直線y=﹣x+5上,點B,C是“完美點”,且點B在直線AM上.若MC=,AM=4,求△MBC的面積.
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