Question

【題目】已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是邊AC上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A、C），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC，交AB于點(diǎn)F．設(shè)PC=x，PE=y．

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）是否存在點(diǎn)P使△PEF是Rt△？若存在，求此時(shí)的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0＜x＜20）；（2）當(dāng)x=10或x=16，存在點(diǎn)P使△PEF是Rt△．

【解析】

試題分析：（1）在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)可求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）分三種情況：①如圖1，當(dāng)∠FPE=90°時(shí)，②如圖2，當(dāng)∠PFE=90°時(shí)，③當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，進(jìn)行討論可求x的值．

試題解析：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，∴sinC=，∵PE⊥BC于點(diǎn)E，∴sinC==，∵PC=x，PE=y，∴（0＜x＜20）；

（2）存在點(diǎn)P使△PEF是Rt△，①如圖1，當(dāng)∠FPE=90°時(shí)，四邊形PEBF是矩形，BF=PE=x，四邊形APEF是平行四邊形，PE=AF=x，∵BF+AF=AB=10，∴x=10；

②如圖2，當(dāng)∠PFE=90°時(shí)，Rt△APF∽Rt△ABC，∠ARP=∠C=30°，AF=40﹣2x，平行四邊形AFEP中，AF=PE，即：40﹣2x=x，解得x=16；

③當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，此時(shí)不存在符合條件的Rt△PEF．

綜上所述，當(dāng)x=10或x=16，存在點(diǎn)P使△PEF是Rt△．