Question

已知，平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OC在x軸正半軸上，邊OA在y軸正半軸上，B點的坐標為(4，3)．將△AOC沿對角線AC所在的直線翻折，得到△AO’C，點O’為點O的對稱點，CO’與AB相交于點E(如圖①)．

(1)試說明：EA＝EC；
(2)求直線BO’的解析式；
(3)作直線OB(如圖②)，直線l平行于y軸，分別交x軸、直線OB、O’B于點P、M、N，設(shè)P點的橫坐標為m(m＞0)．y軸上是否存在點F，使得ΔFMN為等腰直角三角形?若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由折疊的性質(zhì)可得∠ACO=∠ACE，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠EAC=∠ACO，即可得到∠EAC=∠ACE，從而證得結(jié)論；（2）；（3）m=、m=、m=12

試題分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得∠ACO=∠ACE，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠EAC=∠ACO，即可得到∠EAC=∠ACE，從而證得結(jié)論；
（2）先由折疊的性質(zhì)求得點O’的坐標，即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.
（1）由題意得∠ACO=∠ACE，
∵矩形OABC
∴AB∥CO
∴∠EAC=∠ACO
∴∠EAC=∠ACE
∴EA＝EC；
（2）由題意得點O’的坐標為（，）
設(shè)函數(shù)關(guān)系式為
∵圖象過點（，），（4，3）
，解得
∴函數(shù)關(guān)系式為；
（3）當∠FMN=90°時，可得m=；
當∠FNM=90°時，可得m=；
當∠NFM=90°時，可得m=12.
點評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)：折疊前后的圖形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等.